Cho a,b,c là các số thực thay đổi. Tìm max
$P= \frac{a+b+c-2}{(a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)(c^{2}-c+1)}$
Cho a,b,c là các số thực thay đổi. Tìm max
$P= \frac{a+b+c-2}{(a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)(c^{2}-c+1)}$
$a^{2}-a+1=\left ( a-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}$
$x=2a-1,y=2b-1,z=2c-1$
$P=\frac{32(x+y+z-1)}{\prod (x^{2}+3)}$
Ta đi chứng minh : $\left ( y^{2}+3 \right )(z^{2}+3)\geq 4\left ( 1+\frac{\left ( y+z+1 \right )^{2}}{3} \right )$
$\Leftrightarrow 3(y-z)^{2}+3(yz-1)^{2}+2(y+z-2)^{2}\geq 0$
$\Rightarrow \prod (x^2+3)\geq 4\left ( x^2+3 \right )\left ( 1+\frac{(y+z+1)^{2}}{3} \right )\geq 4(x+y+z+1)^{2}$
Đặt : $t=x+y+z+1$
$t<2 \Rightarrow P<0$
$t\geq 2$
$0\leq P\leq \frac{32(t-2)}{4t^{2}}=\frac{8}{t}-\frac{16}{t^{2}}=-\left ( \frac{4}{t}-1 \right )^{2}+1\leq 1$
Dấu $"="\Leftrightarrow a=b=c=1$
Ta đi chứng minh : $\left ( y^{2}+3 \right )(z^{2}+3)\geq 4\left ( 1+\frac{\left ( y+z+1 \right )^{2}}{3} \right )$
$\Leftrightarrow 3(y-z)^{2}+3(yz-1)^{2}+2(y+z-2)^{2}\geq 0$
$\Rightarrow \prod (x^2+3)\geq 4\left ( x^2+3 \right )\left ( 1+\frac{(y+z+1)^{2}}{3} \right )\geq 4(x+y+z+1)^{2}$
ANh ơi làm thế nào để có ý tưởng nghĩ ra bất đẳng thức phụ vậy ạ
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh