Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyetnguyet829]

Tìm tất cả $a,b,c$ thuộc $\mathbb{Z}$ thỏa mãn$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = 2014^{2015}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 24-02-2023 - 20:10

[Moon Loves Math]

Ta có:

$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$

$=a^3[(b-a)+(a-c)]+b^3(c-a)+c^3(a-b)$

$=(a-b)(c^3-a^3)+(c-a)(b^3-a^3)$

$=(a-b)(c-a)(c^2+ca+a^2)-(c-a)(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$=(a-b)(c-a)(c^2+ca+a^2-a^2-ab-b^2)$

$=(a-b)(c-a)(c^2-b^2+ca-ab)$

$=(a-b)(c-a)[(c-b)(c+b)+a(c-b)]$

$=(a-b)(c-a)(c-b)(c+b+a)$

$=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Suy ra $-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)=a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=2014^{2015}\not\equiv 0\quad (mod 3) \quad (1)$

Mặt khác, với $a,b,c \in \mathbb{Z}$ thì luôn có $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\equiv 0 \quad (mod 3) \quad (\ast)$

Thật vậy, giả sử trong 3 số $a,b,c$ tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3.

Không mất tính tổng quát, gọi 2 số đó là $a$ và $b$.

Khi đó, $(a-b) \equiv 0 \quad (mod 3) \Rightarrow (\ast)$

Nếu như $a,b,c$ có số dư cho 3 đôi một khác nhau thì $(a+b+c) \equiv (0+1+2) \equiv 0 \quad (mod 3) \Rightarrow (\ast)$.

Vậy ta luôn có $(\ast)$, mâu thuẫn với $(1)$.

Nên không tồn tại $a,b,c$ thuộc $\mathbb{Z}$ thỏa ycbt.