Ta có tam giác ABC nhọn, với đường cao BE, CF cắt nhau tại H. M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng EC và FB.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với BE và CF. Ta cũng biết rằng I là trung điểm của đoạn thẳng PQ và IH cắt đoạn thẳng EF tại K.
Ta cần chứng minh rằng điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ.
Đầu tiên, ta có thể thấy rằng tam giác BPC và CQB là đồng dạng với tam giác ABC bởi chúng đều có hai góc vuông và một góc bằng nhau (vì BE và CF là đường cao và N, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB). Vì vậy, ta có tỉ số đồng dạng sau:
BP/BA = BQ/BC
Tương đương với:
BP/PQ = QH/QC
Và do I là trung điểm của PQ, ta có:
PK = QK và PH = QH
Do đó, ta có:
BP/PK = QC/QK
Hay:
BP/QC = PK/QK
Lại có:
∠PQB = ∠ABC = ∠BPC
Và:
∠BQC = ∠ACB = ∠CQB
Do đó, tam giác PQB đồng dạng với tam giác CPQ. Vì vậy, ta có:
∠KPB = ∠PQC
Và:
∠KPQ = ∠CPQ + ∠KPC = ∠BPQ + ∠KPB = ∠BQC + ∠KPB = ∠KPB + ∠PQC = ∠KPQ
Vậy, ta có KPQ là tam giác cân tại K và do đó K nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Từ đó, ta suy ra rằng KPQ đi qua trung điểm của đoạn thẳng HQ (vì HQ là đường trung trực của PQ). Vì H là trung điểm của đoạn thẳng EF, nên ta có thể suy ra rằng KPQ đi qua trực tâm của tam giác HPQ, như cần chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-05-2023 - 01:57
