Chủ đề này có 1 trả lời

[cool hunter]

Giải phương trình: $\sqrt{1-\sqrt{1-\sqrt{1-...-\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}}}=x$ (2022 dấu căn)

[perfectstrong]

Giải phương trình: $\sqrt{1-\sqrt{1-\sqrt{1-...-\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}}}=x$ (2022 dấu căn)

Dễ thấy tập xác định của $x$ là $D=[0;1]$. Trên $D$, xét các hàm $f(x)=\sqrt{1-x}$ và $g(x)=f(f(x))$.

Tính đạo hàm $f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} < 0$, ta suy ra $f$ là hàm giảm trên $D$.

Đồng thời $g'\left( x \right) = f'\left( x \right)f'\left( {f\left( x \right)} \right) > 0$ nên $g$ là hàm tăng.

Giải phương trình $f(x)=x$ trên $D$, ta thu được nghiệm duy nhất (điểm cố định) là $\phi = \frac{\sqrt 5 - 1}{2}$.

Do đó

\begin{align}
 \label{eq1} x < \phi \Rightarrow f(x) > f(\phi) = \phi > x \, \forall x \in \left[ {0;\phi } \right[ \\
 \label{eq2} x > \phi \Rightarrow f\left( x \right) < f(\phi) = \phi  < x \, \forall x \in \left] {\phi ;1} \right]
\end{align}

Ta có

\begin{equation}\label{eqg} g\left( 0 \right) = 0;g\left( 1 \right) = 1;g\left( \phi  \right) = \phi \end{equation}

Ta sẽ chứng minh đây là 3 điểm cố định duy nhất của $g$. Trước hết, ta chứng minh

\begin{equation} \label{eq3} g(x) > x \,\forall x \in \left[ {0;\phi } \right[ \end{equation}

Thật vậy

\begin{gathered}
  g\left( x \right) > x \hfill \\
   \Leftrightarrow \sqrt {1 - \sqrt {1 - x} }  > x \hfill \\
   \Leftrightarrow 1 - {x^2} > \sqrt {1 - x}  \hfill \\
   \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} \left( {1 + x} \right) > 1 \hfill \\
   \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 1} \right) < 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow {x^2} < 1 - x \hfill \\
   \Leftrightarrow x < \sqrt {1 - x}  \hfill \\
\end{gathered}

BĐT cuối lại đúng theo \eqref{eq1}, nên \eqref{eq3} đúng.

Tương tự, ta có:

\begin{equation} \label{eq4} g(x) < x \, \forall x \in \left] {\phi ;1} \right] \end{equation}

Từ \eqref{eqg},\eqref{eq3},\eqref{eq4}, ta kết luận rằng hàm $g$ chỉ có đúng 3 điểm cố định là $0, \phi, 1$.

 

Đặt ${g_n}\left( x \right) = \underbrace {g\left( {g\left( {...g\left( x \right)} \right)} \right)}_n$. Vì $g_1=g$ là hàm tăng, nên $g_n$ là hàm tăng với mọi $n$.

Đồng thời

\begin{equation}\label{eq_gn} {g_n}\left( 0 \right) = 0;{g_n}\left( \phi  \right) = \phi ;{g_n}\left( 1 \right) = 1 \,\forall n\end{equation}

Ta sẽ chứng minh:

\begin{equation}\label{eq_indu}\left\{ \begin{gathered}
  1 > x > \phi  \Rightarrow {g_n}\left( x \right) > x \hfill \\
  \phi  > x > 0 \Rightarrow {g_n}\left( x \right) < x
\end{gathered}  \right.\end{equation}

\eqref{eq_indu} đã đúng tới $n=1$. Giả sử \eqref{eq_indu} đúng tới $n$, ta chứng minh \eqref{eq_indu} cũng đúng tới $n+1$.

Thật vậy, nếu $\phi  > x$:

\[{g_n}\left( x \right) < {g_n}\left( \phi  \right) = \phi  \Rightarrow {g_{n + 1}}\left( x \right) = g\left( {{g_n}\left( x \right)} \right) < {g_n}\left( x \right) < x\]

Tương tự, $\phi  < x \Rightarrow {g_{n + 1}}\left( x \right) > x$.

Vậy \eqref{eq_indu} đúng tới $n+1$. Vậy \eqref{eq_indu} đúng với mọi $n$.

 

Kết hợp \eqref{eq_gn} và \eqref{eq_indu}, ta suy ra phương trình đã cho chỉ có đúng 3 nghiệm: $0, \phi, 1$.

 

Nhận xét

Nếu vế trái chỉ có một số lẻ dấu căn, chẳng hạn 2023, thì phương trình đã cho sẽ chỉ có đúng 1 nghiệm là $\phi$.