1. Cho 2 số thực $a,b$ thỏa mãn các điều sau: $\left\{\begin{matrix} & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1 & \\ & \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}-\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$
Tính: $P=a^4 + b^4$ (3đ)
2. Cho phương trình: $x^3 +mx^2 -x + m-m^2 =0$ (*) với $m$ là tham số
a) Chứng minh pt (*) luôn có 1 nghiệm $x=1-m$ với mọi $m$
b) Tìm $m$ sao cho pt (*) có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa $x^3_1+x^3_2+x^3_3=3$ (4đ)
3. Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$, đường cao $AD$ và đường kính $AM$. $K$ là hình chiếu của $B$ lên $AM$.$E,F$ lần lượt là trung điểm của $BD,CM$.
a) Chứng minh $DK\perp AC$
b) Chứng minh $AEFC$ nội tiếp
c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $AEC$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEFC$. Chứng minh $HE=2IO$. (4đ)
4. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:
a) $\frac{(a+1)^2}{a^2 + 1}\leqslant 2$
b) $\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\leq \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}$ (3đ)
5. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}$. Chứng minh: $BC^2=AB.AC+AC^2$. (3đ)
6. Tìm các số tự nhiên $x,y$ và số nguyên tố $p$ thỏa: $p^x=y^4+64$ (3đ)
Có sai đề thì mọi người góp ý để em chỉnh sửa nha. Cám ơn mọi người.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 14-03-2023 - 14:10