$$[x^n](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}$$
2/Có bao nhiêu cách khi gieo đồng xu 25 lần sao cho xuất hiện đúng 5 lần mặt ngửa và mặt sấp không xuất hiện liên tiếp quá 7 lần.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 14-03-2023 - 15:23
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 14-03-2023 - 15:23
1/ Tính
$$[x^n](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}$$
2/Có bao nhiêu cách khi gieo đồng xu 25 lần sao cho xuất hiện đúng 5 lần mặt ngửa và mặt sấp không xuất hiện liên tiếp quá 7 lần.
1) $(1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=(1-2x+x^2)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}.$
Vậy : + $\left [ x^0 \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=0$
+ $\left [ x^1 \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=1$
+ $\left [ x^2 \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=-\frac{3}{2}$
+ $\left [ x^n \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=\frac{1}{n}-\frac{2}{n-1}+\frac{1}{n-2}=\frac{2}{n(n-1)(n-2)}$ nếu $n\geqslant 3$.
2) Gọi số lần được mặt sấp trước lần mặt ngửa đầu tiên là $s_1$.
số lần mặt sấp giữa lần mặt ngửa thứ i-1 và lần mặt ngửa thứ $i$ là $s_i$
số lần mặt sấp sau lần mặt ngửa cuối cùng là $s_6$.
$\Rightarrow s_1+s_2+s_3+...+s_6=20$ ($0\leqslant s_k\leqslant 7$)
Ta có hàm sinh $f(x)=(x^0+x^1+x^2+...+x^7)^6$ (vì mỗi số hạng $s_k$ có thể nhận giá trị từ $0$ đến $7$)
$=\frac{(1-x^8)^6}{(1-x)^6}=\sum_{i=0}^{\infty}C_6^i(-1)^ix^{8i}\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Số cách chính là $\left [ x^{20} \right ]f(x)$.
+ $i=0$, $k=20\rightarrow C_6^0C_{25}^5=53130$.
+ $i=1$, $k=12\rightarrow -C_6^1C_{17}^5=-37128$.
+ $i=2$, $k=4\rightarrow C_6^2C_{9}^5=1890$.
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là $53130-37128+1890=17892$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-03-2023 - 09:35
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh