Đến nội dung

Hình ảnh

Có bao nhiêu cách khi gieo đồng xu 25 lần

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Tính
$$[x^n](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}$$
2/Có bao nhiêu cách khi gieo đồng xu 25 lần sao cho xuất hiện đúng 5 lần mặt ngửa và mặt sấp không xuất hiện liên tiếp quá 7 lần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 14-03-2023 - 15:23

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Tính
$$[x^n](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}$$
2/Có bao nhiêu cách khi gieo đồng xu 25 lần sao cho xuất hiện đúng 5 lần mặt ngửa và mặt sấp không xuất hiện liên tiếp quá 7 lần.

1) $(1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=(1-2x+x^2)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}.$

    Vậy : + $\left [ x^0 \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=0$
             + $\left [ x^1 \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=1$

             + $\left [ x^2 \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=-\frac{3}{2}$

             + $\left [ x^n \right ](1-x)^2\ln\frac{1}{1-x}=\frac{1}{n}-\frac{2}{n-1}+\frac{1}{n-2}=\frac{2}{n(n-1)(n-2)}$ nếu $n\geqslant 3$.

 

2) Gọi số lần được mặt sấp trước lần mặt ngửa đầu tiên là $s_1$.

          số lần mặt sấp giữa lần mặt ngửa thứ i-1 và lần mặt ngửa thứ $i$ là $s_i$

          số lần mặt sấp sau lần mặt ngửa cuối cùng là $s_6$.

   $\Rightarrow s_1+s_2+s_3+...+s_6=20$ ($0\leqslant s_k\leqslant 7$)

   Ta có hàm sinh $f(x)=(x^0+x^1+x^2+...+x^7)^6$ (vì mỗi số hạng $s_k$ có thể nhận giá trị từ $0$ đến $7$)

   $=\frac{(1-x^8)^6}{(1-x)^6}=\sum_{i=0}^{\infty}C_6^i(-1)^ix^{8i}\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$

   Số cách chính là $\left [ x^{20} \right ]f(x)$.

   + $i=0$, $k=20\rightarrow C_6^0C_{25}^5=53130$.

   + $i=1$, $k=12\rightarrow -C_6^1C_{17}^5=-37128$.

   + $i=2$, $k=4\rightarrow C_6^2C_{9}^5=1890$.

   Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là $53130-37128+1890=17892$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 15-03-2023 - 09:35

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh