Chủ đề này có 11 trả lời

[hxthanh]

Giá trị bưu chính (cước) của một kiện hàng được quy định bằng tổng mệnh giá của tối đa $2$ con tem dán lên nó. Người ta phát hành các con tem với $n$ mệnh giá nguyên dương khác nhau sao cho giá trị bưu chính có thể tạo ra là toàn bộ các số tự nhiên của tập $\{1,2,…,S_n\}$ và $S_n$ lớn nhất có thể.
a. Tìm $S_n$
b. Mở rộng bài toán với giá trị bưu chính gồm $k$ con tem.

[perfectstrong]

Thầy Thanh tìm ra mấy bài toán thú vị thế Thầy cho em hỏi là "$S_n$ lớn nhất có thể" tức là "$|S_n|$ đạt GTLN" đúng không ạ?

[hxthanh]

@perfectstrong chuẩn rồi Hân. Ví dụ $S_3=8$
1=0+1, 2=1+1, 3=0+3, 4=0+4
5=1+4, 6=3+3, 7=3+4, 8=4+4
Các mệnh giá phát hành là 1,3,4

[perfectstrong]

À, em tưởng $S_n$ là tập tất cả các giá trị có thể tạo ra từ hai con tem Hóa ra là phải thỏa mãn "toàn bộ tập các số tự nhiên $\{1,2,\ldots,S_n\}$"
 
Em có một vài nhận xét đầu tiên như sau:
Gọi giá trị các con tem lần lượt theo thứ tự tăng dần là $1 \le x_1 < x_2 < \ldots < x_n$.

 

Mệnh đề

$x_1 = 1$

 

Mệnh đề

$x_k \ge k$

 

Mệnh đề

$x_k \le 2 x_{k-1} + 1$

Chứng minh

Thật vậy, nếu $x_k > 2x_{k-1} + 1$ thì không có cách nào để chọn ra hai số có tổng nằm trong khoảng $]2x_{k-1}; x_k[$ mở khác rỗng.
Thật vậy, lấy hai con tem bất kỳ $i \le j$.
Nếu $j \ge k$ thì $x_i + x_j > x_k$.
Nếu $j \le k-1$ thì $x_i + x_j \le 2x_{k-1}$.
Do đó, $x_k \le 2x_{k-1} + 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 15-03-2023 - 20:35
Chỉnh một chút xíu $\LaTeX$.

[hxthanh]

Và hiển nhiên…

Mệnh đề

$S_n = 2x_n$

Rồi tiếp theo nữa thì thế nào @perfectstrong @chanhquocnghiem @Nobodyv3 @poset @supermember @nhungvienkimcuong … nhỉ?

[perfectstrong]

Từ ngày cập nhật môi trường định lý mới, trình bày trông đẹp đẽ hơn hẳn

Lại còn có chức năng Đề cập nữa, thế này thì anh tài tha hồ thách đấu tỉ thí

[Nobodyv3]

@hxthanh: Dạ, em đang lót dép ngồi hóng đây ạ. Hic, đa số những bài toán của thầy thường là quá sức em, nhưng cũng cố gắng suy nghĩ đây ạ...

[chanhquocnghiem]

Giá trị bưu chính (cước) của một kiện hàng được quy định bằng tổng mệnh giá của tối đa $2$ con tem dán lên nó. Người ta phát hành các con tem với $n$ mệnh giá nguyên dương khác nhau sao cho giá trị bưu chính có thể tạo ra là toàn bộ các số tự nhiên của tập $\{1,2,…,S_n\}$ và $S_n$ lớn nhất có thể.
a. Tìm $S_n$
b. Mở rộng bài toán với giá trị bưu chính gồm $k$ con tem.

Xét trường hợp cước bưu chính với tối đa $k$ con tem (Điều kiện $k\leqslant n$)

Mệnh đề

$x_1 = 1$

Mệnh đề

$x_i = 1+(i-1)k,\forall i\in \left \{ 1,2,...,n-k+1 \right \}$

Mệnh đề

$x_i = x_{i-1}+1,\forall i\in \left \{ n-k+2,...,n \right \}$

Mệnh đề

$x_n = k(n-k+1)$

Mệnh đề

$S_n = kx_n=k^2(n-k+1)$

 

a) $S_n=2x_n=4(n-1)$

b) $S_n = kx_n=k^2(n-k+1)$

 

[perfectstrong]

Xét trường hợp cước bưu chính với tối đa $k$ con tem (Điều kiện $k\leqslant n$)

Mệnh đề

$x_1 = 1$

Mệnh đề

$x_i = 1+(i-1)k,\forall i\in \left \{ 1,2,...,n-k+1 \right \}$

Mệnh đề

$x_i = x_{i-1}+1,\forall i\in \left \{ n-k+2,...,n \right \}$

Mệnh đề

$x_n = k(n-k+1)$

Mệnh đề

$S_n = kx_n=k^2(n-k+1)$

 

a) $S_n=2x_n=4(n-1)$

b) $S_n = kx_n=k^2(n-k+1)$

Này là anh đưa ra một trường hợp để tính hay là GTLN ạ?

[hxthanh]

@Nesbit vào xem trích dẫn vẫn đánh số tự động kìa!
@perfectstrong Em nhận xét rất đúng! Xây dựng ra một bộ nghiệm còn phải chứng minh nó lớn nhất nữa. Không đơn giản như @chanhquocnghiem đã làm
Ví dụ như:
$S_1=2$ chứ không phải $0$
$S_7=26$ chứ không phải $24$
$S_{20}=152$ với bộ tem duy nhất thoả mãn là:
$\{1,3,4,5,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,71,72,73,75,76\}$
Nguồn Tim Peters [email protected], Oct 04 2006. oeis.org/A001212

[Nesbit]

@Nesbit vào xem trích dẫn vẫn đánh số tự động kìa!

Ặc ặc, em quên tính tới trường hợp này. Cả công thức Toán cũng bị tương tự. Tạm thời em bỏ đánh số định lý trong trích dẫn trước (anh em xoá cache nếu thấy vẫn bị), phần còn lại @perfectstrong sẽ phụ trách nhé.

[perfectstrong]

Để em liệt vài trường hợp đơn giản đầu tiên
$\begin{array}{l|l|l} n & A_n & S_n \\ \hline 1 & \{1\} & 2 \\ \hline 2 & \{1, 2\}, \{1, 3\} & 4 \\\hline 3 & \{ 1, 3, 4\} & 8 \end{array}$