Cho $a, b, c >0$ và $a+b+c+ab+ac+bc=6abc$ chứng minh rằng $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 23-03-2023 - 06:10
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 - 12:27
bđt
Lời giải Ngoc Hung, 23-03-2023 - 06:08
Ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$\frac{1}{a^{2}}+1\geq \frac{2}{a};\frac{1}{b^{2}}+1\geq \frac{2}{b};\frac{1}{c^{2}}+1\geq \frac{2}{c}$
Suy ra $$3\left ( \frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right )+3\geq 2\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=12\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geqslant 3$$
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 23-03-2023 - 06:08
Ngoc Hung
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1547 Bài viết
Đại úy
✓ Lời giải
Ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$\frac{1}{a^{2}}+1\geq \frac{2}{a};\frac{1}{b^{2}}+1\geq \frac{2}{b};\frac{1}{c^{2}}+1\geq \frac{2}{c}$
Suy ra $$3\left ( \frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right )+3\geq 2\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=12\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} +\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geqslant 3$$
- perfectstrong yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024  bđt, toan 9, vao 10, cuc tri
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt
|
|
|
|
|
|
 Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
