Gieo 1 Con Xúc Xắc N Lần.
#1
Đã gửi 16-03-2023 - 14:42
2) Gieo 1 con xúc xắc 10 lần. Hỏi xác suất để dãy kết quả là dãy tăng không nghiêm ngặt ( là dãy mà kết quả lần sau không nhỏ hơn kết quả lần trước kế nó. Thí dụ : dãy {1,1,3,3,3,3,5,6,6,6} là dãy tăng không nghiêm ngặt).
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#2
Đã gửi 17-03-2023 - 07:57
1) Gieo 1 con xúc xắc n lần. Hỏi xác suất để tất cả các mặt của nó đều xuất hiện.
2) Gieo 1 con xúc xắc 10 lần. Hỏi xác suất để dãy kết quả là dãy tăng không nghiêm ngặt ( là dãy mà kết quả lần sau không nhỏ hơn kết quả lần trước kế nó. Thí dụ : dãy {1,1,3,3,3,3,5,6,6,6} là dãy tăng không nghiêm ngặt).
1) Bài này giống như bài : "Chia $n$ phần quà khác nhau cho $6$ người. Tính xác suất để ai cũng có quà ?"
Gọi $A$ là biến cố "trong $n$ lần gieo, tất cả $6$ mặt đều xuất hiện.
Ta có $n(A)=6^n-C_6^1.5^n+C_6^2.4^n-C_6^3.3^n+C_6^4.2^n-C_6^5.1^n=\sum_{k=0}^{6}(-1)^k.C_6^k.(6-k)^n$
Và xác suất cần tìm là $P=\frac{\sum_{k=0}^{6}(-1)^k.C_6^k.(6-k)^n}{6^n}$.
2) Xét dãy tăng không nghiêm ngặt $\left \{ a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \right \}$.
Đặt $k=a_{10}-a_1$ ($0\leqslant k\leqslant 5$).
Với mỗi $k$ :
+ Chọn $a_1$ và $a_{10}$ : Có $6-k$ cách.
+ Số cách chọn các $a_i$ còn lại là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+x_3+...+x_9=k$
và bằng $C_{k+8}^k$
$\Rightarrow$ Số dãy tăng nghiêm ngặt có thể có là $\sum_{k=0}^{5}(6-k)C_{k+8}^k=6C_8^0+5C_9^1+4C_{10}^2+3C_{11}^3+2C_{12}^4+C_{13}^5=C_{14}^5+C_{13}^4+C_{12}^3+C_{11}^2+C_{10}^1+C_9^0=C_{15}^5$
Xác suất cần tính là $P=\frac{C_{15}^5}{6^{10}}=\frac{3003}{6^{10}}$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 17-03-2023 - 10:47
1) Đúng vậy!1) Bài này giống như bài : "Chia $n$ phần quà khác nhau cho $6$ người. Tính xác suất để ai cũng có quà ?"
Gọi $A$ là biến cố "trong $n$ lần gieo, tất cả $6$ mặt đều xuất hiện.
Ta có $n(A)=6^n-C_6^1.5^n+C_6^2.4^n-C_6^3.3^n+C_6^4.2^n-C_6^5.1^n=\sum_{k=0}^{6}(-1)^k.C_6^k.(6-k)^n$
Và xác suất cần tìm là $P=\frac{\sum_{k=0}^{6}(-1)^k.C_6^k.(6-k)^n}{6^n}$.
2) Xét dãy tăng không nghiêm ngặt $\left \{ a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \right \}$.
Đặt $k=a_{10}-a_1$ ($0\leqslant k\leqslant 5$).
Với mỗi $k$ :
+ Chọn $a_1$ và $a_{10}$ : Có $6-k$ cách.
+ Số cách chọn các $a_i$ còn lại là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+x_3+...+x_9=k$
và bằng $C_{k+8}^k$
$\Rightarrow$ Số dãy tăng nghiêm ngặt có thể có là $\sum_{k=0}^{5}(6-k)C_{k+8}^k=6C_8^0+5C_9^1+4C_{10}^2+3C_{11}^3+2C_{12}^4+C_{13}^5=C_{14}^5+C_{13}^4+C_{12}^3+C_{11}^2+C_{10}^1+C_9^0=C_{15}^5$
Xác suất cần tính là $P=\frac{C_{15}^5}{6^{10}}=\frac{3003}{6^{10}}$.
2) Cách lập luận khác :
Ta có :$1\leq a_1\leq a_2\leq ...\leq a_{10}\leq 6\\
\Rightarrow 1\leq a_1<a_2+1<...<a_{10}+9\leq 15\\
\Rightarrow \binom {15}{10}=\binom {15}{5}=3003$
hoặc là :
Ta thấy mỗi dãy kết quả tương ứng với 1 vec tơ biểu diễn số lần xuất hiện các mặt của xúc xắc, thí dụ : dãy kết quả $ (1,1,2,3,4,4,5,5,5,6)$ tương ứng với véc tơ $\left \langle 2,1,1,2,3,1 \right \rangle$, dễ thấy đây có 1 song ánh giữa các dãy kết quả và các véc tơ. Như vậy ta cần tính số nghiệm nguyên không âm của :
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=10\\
x_i\geq 0
\end {cases}$ và bằng $\binom {15}{5}=3003$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-03-2023 - 11:04
- hxthanh và chanhquocnghiem thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh