Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyen Bao Khanh]

Cho tam giác ABC, AD,BE,CF là đường cao, H là trực tâm. Giao của EF và BC là M. Giao của HM với AB,AC lần lượt là I,J. Chứng minh DA là phân giác của góc $\widehat{IDJ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 23-03-2023 - 20:20

[huytran08]

đây là định lí Blanchet

Phan Đình Trung: Các định lí trong hình học phẳng

[Nguyen Bao Khanh]

đây là định lí Blanchet

Phan Đình Trung: Các định lí trong hình học phẳng

Liệu có phải không?  Nếu chứng minh $DA$ là phân giác $EDF$ thì mình đã không hỏi rồi ạ.

[Leonguyen]

Lời giải

Định lý $\text{Blanchet}$ chỉ cần $H$ thuộc đường cao $AD$, còn $BE$ và $CF$ đi qua $H$ là có thể suy ra $DA$ là phân giác góc $EDF$ được rồi.

Mình nghĩ là phải chứng minh $BI, CJ, AD$ đồng quy đã mới sử dụng được định lý, với mình đã thử cho đường thẳng qua M không đi qua H thì kết quả vẫn đúng, đây là lời giải của mình nếu sai xin mọi người góp ý ạ  .

$\bigtriangleup ABC$ có $AD,BE,CF$ đồng quy nên $\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=1\Rightarrow \frac{CD}{DB}=\frac{EC\cdot FA}{AE\cdot BF}$ (định lý $\text{Menelaus}$).

$\bigtriangleup ABC$ có $E,F,M$ thẳng hàng nên $\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BF}{FA}=1\Rightarrow \frac{CM}{MB}=\frac{EC\cdot FA}{AE\cdot BF}$ (định lý $\text{Ceva}$).

Do đó $\frac{CM}{MB}=\frac{CD}{DB}$.

$\bigtriangleup ABC$ có $M, I, J$ thẳng hàng nên $\frac{AJ}{JC}\cdot\frac{CM}{MB}\cdot\frac{BI}{IA}=1\Rightarrow \frac{AJ}{JC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BI}{IA}=1$ $\Rightarrow AD, BJ, CI$ đồng quy (định lý $\text{Ceva}$).

$\bigtriangleup ABC$ có đường cao $AD$; $AD, BJ, CI$ đồng quy nên suy ra được $DA$ là phân giác của góc $IDJ$.

 

Ở trong web mà bạn huytran08 gửi ở trên bài chứng minh định lý $\text{Blanchet}$ có sử dụng đến định lý $\text{Menelaus}$ và chùm điều hoà, mình xin trình bày cách sử dụng định lý $\text{Thales}$.

Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, đường thẳng này cắt $DF,DE$ lần lượt tại $X$ và $Y$.

Theo định lý $\text{Thales}$ ta có:

$\frac{XA}{BD}=\frac{AF}{FB}\Rightarrow XA=\frac{AF\cdot BD}{FB}, \frac{YA}{CD}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow YA=\frac{AE\cdot CD}{EC}.$

$\bigtriangleup ABC$ có $AD,BE,CF$ đồng quy nên $\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BF}{FA}=1\Rightarrow\frac{AF\cdot BD}{FB}=\frac{AE\cdot CD}{EC}.$

Do vậy $XA=YA$. $\bigtriangleup XDY$ có $DA$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến lên là tam giác cân, thu được $DA$ là phân giác góc $EDF$.

Hình gửi kèm

• 
• 

[HaiDangPham]

Mình nghĩ là phải chứng minh $BI, CJ, AD$ đồng quy đã mới sử dụng được định lý, với mình đã thử cho đường thẳng qua M không đi qua H thì kết quả vẫn đúng.

 

Đang định viết chứng minh thì Leonguyen đã giải xong rồi! Một chứng minh rất đẹp, chỉ dùng những định lý hết sức cơ bản. 

 

Tuy nhiên, ở đây, nếu ta vận dụng thêm các định lý liên quan đến hàng điểm điều hoà, chùm điều hoà thì bài toán trên còn có thể tổng quát hơn nữa như sau: 

 

BÀI TOÁN. Cho tam giác $ABC$ có đường cao AD. M là một điểm trên đường thẳng BC, cùng với ba điểm B, C, D lập thành hàng điểm điều hoà $(B, C, D, M)$. Một đường thẳng $d$ bất kỳ đi qua M cắt AB và AC lần lượt tại I và J. Chứng minh

a) Ba đường thẳng AD, BJ và CI đồng quy. 

b) DA là tia phân giác của góc IDJ. 

 

Hai mệnh đề a) và b) có thể được chứng minh độc lập với nhau. Mình tóm tắt ý tưởng giải như sau: 

a) Do $(B, C, D, M)=-1$ nên $\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}=-\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}$.

Ta lại có M, I, J thẳng hàng nên 

$\frac{\overline{IA}}{\overline{IB}}.\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{JC}}{\overline{JA}}=1$ 

Do đó 

$\frac{\overline{IA}}{\overline{IB}}.\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\frac{\overline{JC}}{\overline{JA}}=-1$ 

Vậy AD, BJ và CI đồng quy. 

b) Gọi K là giao điểm của đường thẳng $d$ và AD.  

Do $(B, C, D, M)$ là hàng điểm điều hoà nên ta có $(AB, AC, AD, AM)$ là một chùm điều hoà.

Đường thẳng $d$ cắt chùm điều hoà này và tạo thành một hàng điểm điều hoà là $(I, J, K, M)$ (Định lý chùm điều hoà). 

Như thế ta có chùm điều hoà thứ hai $(DI, DJ, DK, DM)$.

Cuối cùng, do DK vuông góc với DM nên theo tính chất của chùm điều hoà ta suy ra DA là tia phân giác của góc IDJ. 

[perfectstrong]

Nếu lấy $M$ để $(B,C,D,M)=-1$ thì thực ra $M$ chính là giao điểm của $EF$ và $BC$ với $E,F$ lần lượt là chân đường cao từ $B,C$ lên $AC, AB$.

[HaiDangPham]

Nếu lấy $M$ để $(B,C,D,M)=-1$ thì thực ra $M$ chính là giao điểm của $EF$ và $BC$ với $E,F$ lần lượt là chân đường cao từ $B,C$ lên $AC, AB$.

À vâng, chỗ này đúng là em bị lỗi tư duy. Do $A, B, C, D$ đều cố định nên $M$ cũng là duy nhất và được xác định như anh nói. Vậy giả thiết về $M$, trong bài toán nêu trên của em, cũng chỉ là một phát biểu khác mà thôi chứ không phải một dạng tổng quát hơn.