Chủ đề này có 1 trả lời

[Ruka]

Cho dãy số $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n(u_n+1)(u_n+2)(u_n+3) + 1} \end{cases}$ 

Tìm $\lim \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{u_i+2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 18-03-2023 - 16:31

[William Nguyen]

+, Dễ chứng minh bằng quy nạp: $u_{n}>0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$.

+, Từ công thức truy hồi ta có:

      $u_{n+1}=\sqrt{((u_{n})^2+3u_{n})((u_{n})^2+3u_{n}+2)+1}$

 $\Rightarrow u_{n+1}=\sqrt{((u_{n})^2+3u_{n}+1)^2} = |(u_{n})^2+3u_{n}+1| = (u_{n})^2+3u_{n}+1$  $(1)$

 $\Rightarrow u_{n+1}+1=(u_{n})^2+3u_{n}+2$

 $\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}+1}=\frac{1}{(u_{n})^2+3u_{n}+2}=\frac{(u_{n}+2)-(u_{n}+1)}{(u_{n}+2).(u_{n}+1)}=\frac{1}{u_{n}+1}-\frac{1}{u_{n}+2}$

 $\Rightarrow \frac{1}{u_{n}+2}=\frac{1}{u_{n}+1}-\frac{1}{u_{n+1}+1}$

 $\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{u_{i}+2} = \frac{1}{u_{1}+1}-\frac{1}{u_{n+1}+1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{u_{n+1}+1}$  $(2)$

+, Từ $(1) \Rightarrow u_{n+1}- u_{n}=(u_{n}+1)^2 >0, \forall n\in \mathbb{N}^{*}$.

      $\Rightarrow (u_{n})$ là dãy số tăng.

    Giả sử $(u_{n})$ bị chặn trên thì theo định lý $Weierstrass$, ta có $lim (u_{n})=a$ với $a>0$.

    Giải phương trình giới hạn ta có $(a+1)^2=0 \Leftrightarrow a=-1$, không thỏa mãn.

    Do đó $lim (u_{n})=lim (u_{n+1})=+\infty$  $(3)$

+, Từ $(2)$ và $(3) \Rightarrow lim \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{u_{i}+2} = \frac{1}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 12-06-2023 - 18:19