Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1) Gieo 1 cặp xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất? Cũng câu hỏi trên với trường hợp gieo 3 con xúc xắc? 6 con xúc xắc?
2) Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=14\\
x_i\neq 4
\end {cases}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: Hôm qua, 13:14

[chanhquocnghiem]

1) Gieo 1 cặp xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất? Cũng câu hỏi trên với trường hợp gieo 3 con xúc xắc? 6 con xúc xắc?
2) Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=14\\
x_i\neq 4
\end {cases}$

1) Đề bài chưa rõ ràng.

  a) Nếu $2$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^2\Rightarrow P=\frac{1}{36}$

      Nếu $2$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình

      $x_1+x_2+x_3+...+x_6=2$

      $\Rightarrow \left | \Omega \right |=C_7^5=21\Rightarrow P=\frac{1}{21}$.

  b) Tương tự, nếu $3$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^3\Rightarrow P=\frac{1}{216}$
      Nếu $3$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_8^5=56\Rightarrow P=\frac{1}{56}$.

  c) Nếu $6$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^6\Rightarrow P=\frac{1}{46656}$
      Nếu $6$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_{11}^5=462\Rightarrow P=\frac{1}{462}$.

 

2) Ta có hàm sinh :

   $f(x)=\left ( \frac{1-x^{15}}{1-x}-x^4 \right )^6=(1-x^4+x^5-x^{15})^6(1-x)^{-6}$

   $=(...-60x^{14}+60x^{13}-20x^{12}+15x^{10}-30x^9+15x^8+6x^5-6x^4+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$

   Đáp án là

   $\left [ x^{14} \right ]f(x)=-60C_5^5+60C_6^5-20C_7^5+15C_9^5-30C_{10}^5+15C_{11}^5+6C_{14}^5-6C_{15}^5+C_{19}^5=6762$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: Hôm nay, 08:54

[Nobodyv3]

1) Đề bài chưa rõ ràng.
a) Nếu $2$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^2\Rightarrow P=\frac{1}{36}$
Nếu $2$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
$x_1+x_2+x_3+...+x_6=2$
$\Rightarrow \left | \Omega \right |=C_7^5=21\Rightarrow P=\frac{1}{21}$.
b) Tương tự, nếu $3$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^3\Rightarrow P=\frac{1}{216}$
Nếu $3$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_8^5=56\Rightarrow P=\frac{1}{56}$.
c) Nếu $6$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^6\Rightarrow P=\frac{1}{46656}$
Nếu $6$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_{11}^5=462\Rightarrow P=\frac{1}{462}$.

2) Ta có hàm sinh :
$f(x)=\left ( \frac{1-x^{15}}{1-x}-x^4 \right )^6=(1-x^4+x^5-x^{15})^6(1-x)^{-6}$
$=(...-60x^{14}+60x^{13}-20x^{12}+15x^{10}-30x^9+15x^8+6x^5-6x^4+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Đáp án là
$\left [ x^{14} \right ]f(x)=-60C_5^5+60C_6^5-20C_7^5+15C_9^5-30C_{10}^5+15C_{11}^5+6C_{14}^5-6C_{15}^5+C_{19}^5=6762$.

1) Đề bài chỉ có như vậy! theo em nên xem 2 xúc xắc này phân biệt, khi gieo chúng thì số phần tử không gian mẫu là $\left | \Omega \right |=6^2$, em nghĩ bài này khá là tinh tế không kém phần phức tạp, nên giải không đơn giản đâu!.
a) Gieo 2 con xúc xắc :
Khi gieo chúng, có 2 TH: kết quả sẽ là 2 mặt khác nhau ký hiệu "AB", hoặc 2 mặt giống nhau ký hiệu "AA". Xét 2 TH này :
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AB: xác suất là $\frac {6\cdot 5}{6^2}=\frac {5}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {2}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {5\cdot 2}{6^3}=\frac {5}{108}$
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AA: xác suất là $\frac {6}{6^2}=\frac {1}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {1}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {1}{6^3}=\frac {1}{216}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {5}{108}+\frac {1}{216}=\boldsymbol {\frac {11}{216}}$
b) Gieo 3 con xúc xắc :
Ta phải xét 3 TH :
AAA: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}}{6^3}\frac {1}{6^3}=\frac {6}{6^6}$
AAB: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{6^3}\frac {3}{6^3}=\frac {270}{6^6}$
ABC: có xác suất là $\frac {C_{6}^{3}3!}{6^3}\frac {3!}{6^3}=\frac {720}{6^6}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {6}{6^6}+\frac {270}{6^6}+\frac {720}{6^6}=\boldsymbol {\frac {83}{3888}}$
c) Gieo 6 con xúc xắc :
Tương tự như phần trên nhưng xét nhiều TH hơn : đó là tính xác suất các TH: AAAAAA, AAAAAB, AAAABB, AAAABC, AAABBB, AAABBC, AAABCD, AABBCC, AABBCD, AABCDE, ABCDEF, rồi cộng các xác suất này lại. (Lúc nào rảnh em sẽ trở lại làm hoàn chỉnh câu này ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: Hôm nay, 13:51

[chanhquocnghiem]

1) Đề bài chỉ có như vậy! theo em nên xem 2 xúc xắc này phân biệt, khi gieo chúng thì số phần tử không gian mẫu là $\left | \Omega \right |=6^2$, em nghĩ bài này khá là tinh tế không kém phần phức tạp, nên giải không đơn giản đâu!.
a) Gieo 2 con xúc xắc :
Khi gieo chúng, có 2 TH: kết quả sẽ là 2 mặt khác nhau ký hiệu "AB", hoặc 2 mặt giống nhau ký hiệu "AA". Xét 2 TH này :
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AB: xác suất là $\frac {6\cdot 5}{6^2}=\frac {5}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {2}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {5\cdot 2}{6^3}=\frac {5}{108}$
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AA: xác suất là $\frac {6}{6^2}=\frac {1}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {1}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {1}{6^3}=\frac {1}{216}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {5}{108}+\frac {1}{216}=\boldsymbol {\frac {11}{216}}$
b) Gieo 3 con xúc xắc :
Ta phải xét 3 TH :
AAA: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}}{6^3}\frac {1}{6^3}=\frac {6}{6^6}$
AAB: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{6^3}\frac {3}{6^3}=\frac {270}{6^6}$
ABC: có xác suất là $\frac {C_{6}^{3}3!}{6^3}\frac {3!}{6^3}=\frac {720}{6^6}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {6}{6^6}+\frac {270}{6^6}+\frac {720}{6^6}=\boldsymbol {\frac {83}{3888}}$
c) Gieo 6 con xúc xắc :
Tương tự như phần trên nhưng xét nhiều TH hơn : đó là tính xác suất các TH: AAAAAA, AAAAAB, AAAABB, AAAABC, AAABBB, AAABBC, AAABCD, AABBCC, AABBCD, AABCDE, ABCDEF, rồi cộng các xác suất này lại. (Lúc nào rảnh em sẽ trở lại làm hoàn chỉnh câu này ).

1) Giả sử $2$ con xúc sắc là phân biệt, gọi là $A$ và $B$.

    Số chấm trong lần gieo thứ $i$ của $A$ và $B$ lần lượt là $a_i$ và $b_i$.

    $\mathbf{TH1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1=b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1=b_1$ là $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH1 là $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$

   $\mathbf{TH2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{5}{216}$

    Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{216}=\frac{1}{36}$.

 

b) Trường hợp $3$ con xúc sắc phân biệt $A,B$ và $C$

    $\mathbf{TH1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1=b_1=c_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1\\c_2=c_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1=b_1=c_1$ là $\frac{6}{6^3}=\frac{1}{6^2}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $c_2=c_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH1 là $\frac{1}{6^2}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{1}{6^5}$.

   $\mathbf{TH2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1,b_1,c_1\ phan\ biet\ \\a_2=a_1\\b_2=b_1\\c_2=c_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1,b_1,c_1$ phân biệt là $\frac{6.5.4}{6^3}=\frac{20}{6^2}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $c_2=c_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{20}{6^2}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{20}{6^5}$.

   $\mathbf{TH3}$ (trong $3$ số $a_1,b_1,c_1$ có đúng $2$ số bằng nhau và $a_2=a_1$, $b_2=b_1$, $c_2=c_1$)

    + Xác suất để trong $3$ số $a_1,b_1,c_1$ có đúng $2$ số bằng nhau là $1-\frac{1}{6^2}-\frac{20}{6^2}=\frac{15}{6^2}$

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $c_2=c_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH3 là $\frac{15}{6^2}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{15}{6^5}$.

   Xác suất cần tính là $\frac{1}{6^5}+\frac{20}{6^5}+\frac{15}{6^5}=\frac{36}{6^5}=\frac{1}{216}$.

 

c) Trường hợp $6$ con xúc sắc phân biệt thì cũng tương tự thôi (nhưng làm cách này rườm rà lắm, cách trên kia gọn hơn)

    Kết quả là $\frac{1}{6^6}=\frac{1}{46656}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: Hôm nay, 16:27

[Nobodyv3]

1) Giả sử $2$ con xúc sắc là phân biệt, gọi là $A$ và $B$.
Số chấm trong lần gieo thứ $i$ của $A$ và $B$ lần lượt là $a_i$ và $b_i$.
$\mathbf{TH1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1=b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1=b_1$ là $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH1 là $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$
$\mathbf{TH2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{5}{216}$
Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{216}=\frac{1}{36}$.

Em thấy $\boldsymbol {TH2}$ có 2 tiểu trường hợp :
$\mathbf{TH2.1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\mathbf{TH2.2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=b_1\\b_2=a_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}\left(\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}\right) =\frac{5}{108}$
Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{108}=\boldsymbol{ \frac{11}{216}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: Hôm nay, 18:13

[chanhquocnghiem]

Em thấy $\boldsymbol {TH2}$ có 2 tiểu trường hợp :
$\mathbf{TH2.1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\mathbf{TH2.2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=b_1\\b_2=a_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}\left(\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}\right) =\frac{5}{108}$
Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{108}=\boldsymbol{ \frac{11}{216}}$.

Vậy là bạn đã hiểu sai vấn đề rồi !

Nếu nói là $2$ con xúc sắc phân biệt (ví dụ xúc sắc $A$ lớn, xúc sắc $B$ nhỏ) và các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất, thì chỉ có nghĩa là :

$\left\{\begin{matrix}a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$

Do đó không có $\mathbf{TH2.2}$.

(Chỉ khi $2$ con xúc sắc KHÔNG phân biệt (hoàn toàn giống nhau và không được đặt tên) thì mới xét đến $\mathbf{TH2.2}$)
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: Hôm nay, 19:15