Đến nội dung

Hình ảnh

xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 667 Bài viết
1) Gieo 1 cặp xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất? Cũng câu hỏi trên với trường hợp gieo 3 con xúc xắc? 6 con xúc xắc?
2) Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=14\\
x_i\neq 4
\end {cases}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-03-2023 - 13:14

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2405 Bài viết

1) Gieo 1 cặp xúc xắc 2 lần. Hỏi xác suất để các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất? Cũng câu hỏi trên với trường hợp gieo 3 con xúc xắc? 6 con xúc xắc?
2) Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=14\\
x_i\neq 4
\end {cases}$

1) Đề bài chưa rõ ràng.

  a) Nếu $2$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^2\Rightarrow P=\frac{1}{36}$

      Nếu $2$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình

      $x_1+x_2+x_3+...+x_6=2$

      $\Rightarrow \left | \Omega \right |=C_7^5=21\Rightarrow P=\frac{1}{21}$.

  b) Tương tự, nếu $3$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^3\Rightarrow P=\frac{1}{216}$
      Nếu $3$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_8^5=56\Rightarrow P=\frac{1}{56}$.

  c) Nếu $6$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^6\Rightarrow P=\frac{1}{46656}$
      Nếu $6$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_{11}^5=462\Rightarrow P=\frac{1}{462}$.

 

2) Ta có hàm sinh :

   $f(x)=\left ( \frac{1-x^{15}}{1-x}-x^4 \right )^6=(1-x^4+x^5-x^{15})^6(1-x)^{-6}$

   $=(...-60x^{14}+60x^{13}-20x^{12}+15x^{10}-30x^9+15x^8+6x^5-6x^4+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$

   Đáp án là

   $\left [ x^{14} \right ]f(x)=-60C_5^5+60C_6^5-20C_7^5+15C_9^5-30C_{10}^5+15C_{11}^5+6C_{14}^5-6C_{15}^5+C_{19}^5=6762$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-03-2023 - 08:54

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 667 Bài viết

1) Đề bài chưa rõ ràng.
a) Nếu $2$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^2\Rightarrow P=\frac{1}{36}$
Nếu $2$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |$ là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
$x_1+x_2+x_3+...+x_6=2$
$\Rightarrow \left | \Omega \right |=C_7^5=21\Rightarrow P=\frac{1}{21}$.
b) Tương tự, nếu $3$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^3\Rightarrow P=\frac{1}{216}$
Nếu $3$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_8^5=56\Rightarrow P=\frac{1}{56}$.
c) Nếu $6$ con xúc sắc phân biệt thì $\left | \Omega \right |=6^6\Rightarrow P=\frac{1}{46656}$
Nếu $6$ con xúc sắc không phân biệt thì $\left | \Omega \right |=C_{11}^5=462\Rightarrow P=\frac{1}{462}$.

2) Ta có hàm sinh :
$f(x)=\left ( \frac{1-x^{15}}{1-x}-x^4 \right )^6=(1-x^4+x^5-x^{15})^6(1-x)^{-6}$
$=(...-60x^{14}+60x^{13}-20x^{12}+15x^{10}-30x^9+15x^8+6x^5-6x^4+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Đáp án là
$\left [ x^{14} \right ]f(x)=-60C_5^5+60C_6^5-20C_7^5+15C_9^5-30C_{10}^5+15C_{11}^5+6C_{14}^5-6C_{15}^5+C_{19}^5=6762$.

1) Đề bài chỉ có như vậy! theo em nên xem 2 xúc xắc này phân biệt, khi gieo chúng thì số phần tử không gian mẫu là $\left | \Omega \right |=6^2$, em nghĩ bài này khá là tinh tế không kém phần phức tạp, nên giải không đơn giản đâu!.
a) Gieo 2 con xúc xắc :
Khi gieo chúng, có 2 TH: kết quả sẽ là 2 mặt khác nhau ký hiệu "AB", hoặc 2 mặt giống nhau ký hiệu "AA". Xét 2 TH này :
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AB: xác suất là $\frac {6\cdot 5}{6^2}=\frac {5}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {2}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {5\cdot 2}{6^3}=\frac {5}{108}$
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AA: xác suất là $\frac {6}{6^2}=\frac {1}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {1}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {1}{6^3}=\frac {1}{216}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {5}{108}+\frac {1}{216}=\boldsymbol {\frac {11}{216}}$
b) Gieo 3 con xúc xắc :
Ta phải xét 3 TH :
AAA: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}}{6^3}\frac {1}{6^3}=\frac {6}{6^6}$
AAB: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{6^3}\frac {3}{6^3}=\frac {270}{6^6}$
ABC: có xác suất là $\frac {C_{6}^{3}3!}{6^3}\frac {3!}{6^3}=\frac {720}{6^6}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {6}{6^6}+\frac {270}{6^6}+\frac {720}{6^6}=\boldsymbol {\frac {83}{3888}}$
c) Gieo 6 con xúc xắc :
Tương tự như phần trên nhưng xét nhiều TH hơn : đó là tính xác suất các TH: AAAAAA, AAAAAB, AAAABB, AAAABC, AAABBB, AAABBC, AAABCD, AABBCC, AABBCD, AABCDE, ABCDEF, rồi cộng các xác suất này lại. (Lúc nào rảnh em sẽ trở lại làm hoàn chỉnh câu này ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 20-03-2023 - 13:51

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2405 Bài viết

1) Đề bài chỉ có như vậy! theo em nên xem 2 xúc xắc này phân biệt, khi gieo chúng thì số phần tử không gian mẫu là $\left | \Omega \right |=6^2$, em nghĩ bài này khá là tinh tế không kém phần phức tạp, nên giải không đơn giản đâu!.
a) Gieo 2 con xúc xắc :
Khi gieo chúng, có 2 TH: kết quả sẽ là 2 mặt khác nhau ký hiệu "AB", hoặc 2 mặt giống nhau ký hiệu "AA". Xét 2 TH này :
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AB: xác suất là $\frac {6\cdot 5}{6^2}=\frac {5}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {2}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {5\cdot 2}{6^3}=\frac {5}{108}$
- Khi gieo lần thứ nhất có kết quả là AA: xác suất là $\frac {6}{6^2}=\frac {1}{6}$ và gieo lần hai có xác suất là $ \frac {1}{6^2}$ Suy ra xác suất là $\frac {1}{6^3}=\frac {1}{216}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {5}{108}+\frac {1}{216}=\boldsymbol {\frac {11}{216}}$
b) Gieo 3 con xúc xắc :
Ta phải xét 3 TH :
AAA: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}}{6^3}\frac {1}{6^3}=\frac {6}{6^6}$
AAB: có xác suất là $\frac {C_{6}^{1}C_{5}^{1}C_{3}^{1}}{6^3}\frac {3}{6^3}=\frac {270}{6^6}$
ABC: có xác suất là $\frac {C_{6}^{3}3!}{6^3}\frac {3!}{6^3}=\frac {720}{6^6}$
Do đó, xác suất cần tìm là $ \frac {6}{6^6}+\frac {270}{6^6}+\frac {720}{6^6}=\boldsymbol {\frac {83}{3888}}$
c) Gieo 6 con xúc xắc :
Tương tự như phần trên nhưng xét nhiều TH hơn : đó là tính xác suất các TH: AAAAAA, AAAAAB, AAAABB, AAAABC, AAABBB, AAABBC, AAABCD, AABBCC, AABBCD, AABCDE, ABCDEF, rồi cộng các xác suất này lại. (Lúc nào rảnh em sẽ trở lại làm hoàn chỉnh câu này ).

1) Giả sử $2$ con xúc sắc là phân biệt, gọi là $A$ và $B$.

    Số chấm trong lần gieo thứ $i$ của $A$ và $B$ lần lượt là $a_i$ và $b_i$.

    $\mathbf{TH1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1=b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1=b_1$ là $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH1 là $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$

   $\mathbf{TH2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{5}{216}$

    Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{216}=\frac{1}{36}$.

 

b) Trường hợp $3$ con xúc sắc phân biệt $A,B$ và $C$

    $\mathbf{TH1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1=b_1=c_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1\\c_2=c_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1=b_1=c_1$ là $\frac{6}{6^3}=\frac{1}{6^2}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $c_2=c_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH1 là $\frac{1}{6^2}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{1}{6^5}$.

   $\mathbf{TH2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1,b_1,c_1\ phan\ biet\ \\a_2=a_1\\b_2=b_1\\c_2=c_1 \end{matrix}\right.$

    + Xác suất để $a_1,b_1,c_1$ phân biệt là $\frac{6.5.4}{6^3}=\frac{20}{6^2}$.

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $c_2=c_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{20}{6^2}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{20}{6^5}$.

   $\mathbf{TH3}$ (trong $3$ số $a_1,b_1,c_1$ có đúng $2$ số bằng nhau và $a_2=a_1$, $b_2=b_1$, $c_2=c_1$)

    + Xác suất để trong $3$ số $a_1,b_1,c_1$ có đúng $2$ số bằng nhau là $1-\frac{1}{6^2}-\frac{20}{6^2}=\frac{15}{6^2}$

    + Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.

    + Xác suất để $c_2=c_1$ là $\frac{1}{6}$.

   $\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH3 là $\frac{15}{6^2}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{15}{6^5}$.

   Xác suất cần tính là $\frac{1}{6^5}+\frac{20}{6^5}+\frac{15}{6^5}=\frac{36}{6^5}=\frac{1}{216}$.

 

c) Trường hợp $6$ con xúc sắc phân biệt thì cũng tương tự thôi (nhưng làm cách này rườm rà lắm, cách trên kia gọn hơn)

    Kết quả là $\frac{1}{6^6}=\frac{1}{46656}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-03-2023 - 16:27

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 667 Bài viết

1) Giả sử $2$ con xúc sắc là phân biệt, gọi là $A$ và $B$.
Số chấm trong lần gieo thứ $i$ của $A$ và $B$ lần lượt là $a_i$ và $b_i$.
$\mathbf{TH1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1=b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1=b_1$ là $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH1 là $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$
$\mathbf{TH2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}.\frac{1}{6}.\frac{1}{6}=\frac{5}{216}$
Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{216}=\frac{1}{36}$.

Em thấy $\boldsymbol {TH2}$ có 2 tiểu trường hợp :
$\mathbf{TH2.1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\mathbf{TH2.2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=b_1\\b_2=a_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}\left(\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}\right) =\frac{5}{108}$
Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{108}=\boldsymbol{ \frac{11}{216}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 20-03-2023 - 18:13

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2405 Bài viết

Em thấy $\boldsymbol {TH2}$ có 2 tiểu trường hợp :
$\mathbf{TH2.1}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\mathbf{TH2.2}$ $\left\{\begin{matrix}a_1\neq b_1\\a_2=b_1\\b_2=a_1 \end{matrix}\right.$
+ Xác suất để $a_1\neq b_1$ là $\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$.
+ Xác suất để $a_2=b_1$ là $\frac{1}{6}$.
+ Xác suất để $b_2=a_1$ là $\frac{1}{6}$.
$\Rightarrow$ Xác suất xảy ra TH2 là $\frac{5}{6}\left(\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}\right) =\frac{5}{108}$
Xác suất cần tính là $\frac{1}{216}+\frac{5}{108}=\boldsymbol{ \frac{11}{216}}$.

Vậy là bạn đã hiểu sai vấn đề rồi !

Nếu nói là $2$ con xúc sắc phân biệt (ví dụ xúc sắc $A$ lớn, xúc sắc $B$ nhỏ) và các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ hai giống như các mặt xuất hiện của 2 con xúc xắc ở lần gieo thứ nhất, thì chỉ có nghĩa là :

$\left\{\begin{matrix}a_2=a_1\\b_2=b_1 \end{matrix}\right.$

Do đó không có $\mathbf{TH2.2}$.

(Chỉ khi $2$ con xúc sắc KHÔNG phân biệt (hoàn toàn giống nhau và không được đặt tên) thì mới xét đến $\mathbf{TH2.2}$)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-03-2023 - 19:15

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 667 Bài viết
Em vẫn lăn tăn hay mình chưa hiểu đúng ý của người ra đề, vì nếu đúng như anh nói thì bài toán không được hay nếu không muốn nói là tầm thường.
<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#8
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2405 Bài viết

Em vẫn lăn tăn hay mình chưa hiểu đúng ý của người ra đề, vì nếu đúng như anh nói thì bài toán không được hay nếu không muốn nói là tầm thường.

Vì thế mình nói đề bài không rõ ràng (mình rất ít khi giải những đề không rõ ràng, mà có giải cũng phải sửa lại, chưa chắc đúng ý người ra đề)
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh