Cho $x, y \ne 0$ chứng minh $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} + 4 \geq 3(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$
chứng minh $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} + 4 \geq 3(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$
Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, Hôm qua, 21:48
#2
Đã gửi Hôm qua, 22:33
WannaBeMe
-
- Thành viên mới
-
- 11 Bài viết
Binh nhì
Ta có:
$\left (\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right )\ + 4 \geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right )\ $
$\Leftrightarrow {\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ }^{2} + 2 \geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right )\ $
Đặt $t = \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ $ (mà áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta được $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ \geq 2 \Rightarrow t \geq 2$), bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$t^2+2\geq 3t$
$\Leftrightarrow (t-1)(t-2) \geq 0$ (luôn đúng vì $t \geq 2$)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
