Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} + 4 \geq 3(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Cho $x, y \ne 0$ chứng minh $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} + 4 \geq 3(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$



#2
WannaBeMe

WannaBeMe

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Ta có:
$\left (\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right )\ + 4 \geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right )\ $

$\Leftrightarrow {\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ }^{2} + 2 \geq 3\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right )\ $

Đặt $t = \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ $ (mà áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta được $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ \geq 2 \Rightarrow t \geq 2$), bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$t^2+2\geq 3t$

$\Leftrightarrow (t-1)(t-2) \geq 0$ (luôn đúng vì $t \geq 2$)

Vậy ta có điều phải chứng minh.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh