Chủ đề này có 2 trả lời

[Ruka]

Việc viết dãy số thành $x_{n+1} = f(x_n)$ hay $x_n = f(x_{n+1})$ và đặt $x_n = k$

Tính đạo hàm $f'(k)$ và nó đồng biến ở khoảng nào thì dãy tăng trên khoảng đó có đúng không ạ?

E thấy có vài bạn làm như vậy rồi nhưng e ko hiểu lắm

 

Một số bài làm như:

Của @pcoVietnam02 

 

$f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ rồi qui nạp CM $a_n$ là dãy tăng, nghĩa là sao?

 

Của đề thi VMO 2023

 

Điều này có nghĩa là hàm $f$ đồng biến trên $[0;1]$ đồng nghĩa với $x_n$ tăng ngặt trên $[0;1]$

 

Mong mn giúp e với ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 19-03-2023 - 22:16

[nmlinh16]

Để áp dụng suy luận như trên, bạn phải tìm một khoảng ổn định của $f$, nghĩa là một khoảng/đoạn $I$ sao cho với mọi $t \in I$ thì $f(t) \in I$.

Sau đó khi bạn có $x_0 \in I$ thì bằng quy nạp sẽ có $x_n \in I$ với mọi $n$.

 

Tiếp theo, nếu $f$ đồng biến trên $I$ thì dãy sẽ tăng hoặc giảm, tùy theo $x_1 \ge x_0$ hay $x_1 \le x_0$.

Nếu $x_1 \ge x_0$ thì $f(x_1) \ge f(x_0)$ vì $f$ đồng biến, hay $x_2 \ge x_1$. Tiếp tục, ta có $x_3 \ge x_2$... bằng quy nạp thì $x_{n+1} \ge x_n$ với mọi $n$, hay dãy $(x_n)$ tăng.

Tương tự, nếu $x_1 \le x_0$ thì dãy $(x_n)$ giảm.

 

 

Cần nói thêm là bài làm của bạn pcoVietnam2 ở trên là chưa chặt chẽ ở đoạn này:

"$f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$."

 

Kết luận này là sai, $f$ không xác định tại điểm điểm $\frac{4}{3}$. Ta chỉ có $f'(t) \ge 0$ với $t \in (-\infty, \frac{4}{3})$ và $t \in (\frac{4}{3},+\infty)$, nghĩa là $f$ chỉ đồng biến trên các khoảng $(-\infty, \frac{4}{3})$ và $(\frac{4}{3},+\infty)$ mà thôi.

[Nesbit]

Anh để ý thấy @Ruka áp dụng sai vào một bài khác, không biết bây giờ em đã hiểu rõ chưa, nếu chưa thì anh có thể giải thích kĩ thêm.