Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

1) Từ các chữ cái A, B, C, hỏi có bao nhiêu cách chọn n chữ cái sao cho số chữ A là số chẵn.
2) Có bao nhiêu cách xếp 200 chiếc ghế giống nhau vào 4 phòng sao cho mỗi phòng có 20, hoặc 40, hoặc 60, hoặc 80, hoặc 100 ghế.

[chanhquocnghiem]

1) Từ các chữ cái A, B, C, hỏi có bao nhiêu cách chọn n chữ cái sao cho số chữ A là số chẵn.
2) Có bao nhiêu cách xếp 200 chiếc ghế giống nhau vào 4 phòng sao cho mỗi phòng có 20, hoặc 40, hoặc 60, hoặc 80, hoặc 100 ghế.

1) Gọi $a,b,c$ lần lượt là số chữ cái $A,B,C$.

   + $a=0\rightarrow b+c=n\rightarrow$ Có $n+1$ cách chọn $b$ và $c$.

   + $a=2\rightarrow b+c=n-2\rightarrow$ Có $n-1$ cách chọn $b$ và $c$.

   + $a=4\rightarrow b+c=n-4\rightarrow$ Có $n-3$ cách chọn $b$ và $c$.

   + .................................................

   + .................................................

   + $a=2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\rightarrow b+c=n-2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\rightarrow$ Có $n-2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1$ cách chọn $b$ và $c$

   Vậy đáp án là :

   $(n+1)+(n-1)+(n-3)+...+\left ( n-2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1 \right )=\left ( n-2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1 \right )\left ( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1 \right )=$

   $=\left \lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor^2+\left ( n-2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right )\left \lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor$ (cách)

 

2) Bổ sung đề bài cho rõ ràng : "Có bao nhiêu cách xếp $200$ chiếc ghế giống nhau vào $4$ phòng KHÁC NHAU..."

    Gọi số ghế các phòng lần lượt là $20x_1,20x_2,20x_3,20x_4$. Ta có :

    $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ ($1\leqslant x_i\leqslant 5$) $\Leftrightarrow y_1+y_2+y_3+y_4=6$ ($0\leqslant y_i\leqslant 4$)

    Số bộ nghiệm nguyên không âm của pt $y_1+y_2+y_3+y_4=6$ là $C_9^3=84$

    Trong đó, số bộ nghiệm có ẩn bằng $6$ là $C_4^1=4$ và số bộ nghiệm có ẩn bằng $5$ là $P_4^2=12$

    Vậy đáp án là $84-4-12=68$ (cách)

   
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-03-2023 - 16:18

[hxthanh]

1)…
   $=\left \lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor^2+\left ( n-2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right )\left \lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor$ (cách)
…

Chưa biết đáp án có đúng hay không nhưng kết quả này nhìn không đẹp. Rút gọn lại:
\begin{align*}&=\left\lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor\left(\left\lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor+n-2\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\right)\\
&=\left\lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor\left(1+n-\left\lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\right)\\
&=\left\lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor\left(1+\left\lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor\right)\\
&=\left\lfloor \frac{n+2}{2} \right \rfloor\left\lfloor \frac{n+3}{2} \right \rfloor\\
&=\left\lfloor \frac{(n+2)^2}{4} \right \rfloor
\end{align*}

[hxthanh]

1. Bài này gói gọn lại trong một tổng:
$\sum_{0\le 2a+b=n-c\le n} 1 = \sum_{a=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \sum_{b=0}^{n-2a} 1= \sum_{a=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} (n+1-2a) $
Đây là cách @chanhquocnghiem đã làm.
Hoặc có thể biến đổi như sau:
$=\sum_{b=0}^{n} \sum_{a=0}^{\left\lfloor\frac{n-b}{2}\right\rfloor } 1 =\sum_{b=0}^n\left\lfloor\frac{n+2-b}{2}\right\rfloor=\sum_{b=0}^n \left\lfloor\frac{b+2}{2}\right\rfloor$
$=\sum_{b=2}^{n+2}\left\lfloor\frac{b}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{(n+2)^2}{4}\right\rfloor$

[Nobodyv3]

@hxthanh: quá đẹp! @chanhquocnghiem: Thank you so much. Em quên béng đi mất! Em xin trình bày lời giải sử dụng hàm sinh.

 

1) Hàm sinh cho số cách chọn chữ A: $\frac {1}{1-x^2}$. Hàm sinh cho số cách chọn chữ B, hoặc C: $\frac {1}{1-x}$. Vậy ta có hàm sinh :

$$f(x)=\frac {1}{(1-x^2)}\frac {1}{(1-x)^2}=\frac {1}{(1+x)}\frac {1}{(1-x)^3}.$$

Tách đa thức ta được : $$f(x)=\frac {1}{8}\cdot \frac {1}{(1+x)}+\frac {1}{8}\cdot \frac {1}{(1-x)}+\frac {1}{4}\cdot \frac {1}{(1-x)^2}+\frac {1}{2}\cdot \frac {1}{(1-x)^3}$$

Suy ra số cách chọn thỏa yêu cầu là :

$$a_n=\frac {1}{8}(-1)^n+\frac {1}{8}+\frac {1}{4}(n+1)+ \frac {1}{2}\binom {n+2}{2}$$

Hay là : $$a_n=\begin {cases} \frac {n^2+4n+4}{4} && \text {nếu $n $ chẵn,}\\ \frac {n^2+4n+3}{4}, && \text {nếu $n$ lẻ.} \end {cases}\Leftrightarrow a_n=\begin {cases} \frac {(n+2)^2}{4} && \text {nếu $n $ chẵn,}\\
\frac {(n+2)^2-1}{4}, && \text {nếu $n$ lẻ.} \end {cases}\Leftrightarrow a_n= \boldsymbol{\left \lfloor \frac{(n+2)^2}{4} \right \rfloor} $$

 

2) Ta có hàm sinh : $$f(x)=\left( x^{20}+x^{40}+x^{60}+x^{80}+ x^{100}  \right) ^4=x^{80}\frac {(1-x^{100})^4}{(1- x^{20})^4}.$$

Số cách xếp thỏa yêu cầu là :

$$\begin {align*} \left [ x^{200} \right ]f(x)&=\left [ x^{120} \right ]\left ( 1-4x^{100}+... \right )\sum_{k=0}^{\infty }\binom {k+3}{3}x^{20k}\\ &=\binom {9}{3}-4\binom {4}{3}=84-16=68 \end  {align*}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 26-03-2023 - 19:32
Sửa lỗi font, nhân tiện chỉnh luôn $\LaTeX$ dùng 4 dấu đô-la thay vì 2 dấu