Tìm max của $A = \frac{x}{1+2x^2} + \frac{y}{1+2y^2}$ với $x, y >0$ và $x+y=2xy$
Tìm max của $A = \frac{x}{1+2x^2} + \frac{y}{1+2y^2}$ với $x, y >0$ và $x+y=2xy$
#1
Đã gửi 23-03-2023 - 05:43
#2
Đã gửi 23-03-2023 - 22:54
$x+y=2xy\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$
\begin{align}\frac{x}{1+2x^2}+\frac{y}{1+2y^2}
&=\frac{x}{\left (1+x^2 \right )+x^2}+\frac{y}{\left (1+y^2 \right )+y^2}\\
&\leq\frac{x}{2x+x^2}+\frac{y}{2y+y^2}\\
&=\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}\\
&=\frac{1}{9}\left [ \frac{(2+1)^2}{2+x}+\frac{(2+1)^2}{2+y} \right ]\\
&\leq\frac{1}{9}\left [ \frac{4}{2}+\frac{1}{x}+\frac{4}{2}+\frac{1}{y} \right ]=\frac{2}{3}.
\end{align}
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$.
Vậy $\max A=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 26-03-2023 - 00:16
Công thức dài cần xuống hàng và canh giữa.
- truongphat266 yêu thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#3
Đã gửi 25-03-2023 - 20:29
tìm max mà anh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 25-03-2023 - 20:55
Bỏ trích dẫn nguyên bài dài ngay trước.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh