Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm max của $A = \frac{x}{1+2x^2} + \frac{y}{1+2y^2}$ với $x, y >0$ và $x+y=2xy$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Tìm max của $A = \frac{x}{1+2x^2} + \frac{y}{1+2y^2}$ với $x, y >0$ và $x+y=2xy$



#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

$x+y=2xy\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$

\begin{align}\frac{x}{1+2x^2}+\frac{y}{1+2y^2}
&=\frac{x}{\left (1+x^2 \right )+x^2}+\frac{y}{\left (1+y^2 \right )+y^2}\\
&\leq\frac{x}{2x+x^2}+\frac{y}{2y+y^2}\\
&=\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}\\
&=\frac{1}{9}\left [ \frac{(2+1)^2}{2+x}+\frac{(2+1)^2}{2+y} \right ]\\
&\leq\frac{1}{9}\left [ \frac{4}{2}+\frac{1}{x}+\frac{4}{2}+\frac{1}{y} \right ]=\frac{2}{3}.
\end{align}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$.

Vậy $\max A=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 26-03-2023 - 00:16
Công thức dài cần xuống hàng và canh giữa.

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

tìm max mà anh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 25-03-2023 - 20:55
Bỏ trích dẫn nguyên bài dài ngay trước.

Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác

#4
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

tìm max mà anh

À mình nhầm đó


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh