Cho $a, b,c,d$ là các số nguyên tố thoả mãn $5<a<b<c<d<a+10$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ chia hết cho 60.
Lời giải Leonguyen, 27-03-2023 - 00:05
Em không biết cách này có đúng không và khá dài, mọi người có cách nào hay hơn thì chỉ em với
Hai số nguyên tố lớn hơn 5 thì có hiệu lớn hơn hoặc bằng 2 và là số chẵn. Dễ dàng chứng minh được trong các số $b-a, c-b, d-c$ nếu tồn tại một số lớn hơn hoặc bằng 6 hoặc hai số lớn hơn hoặc bằng 4 thì sẽ không tmđk $a<b<c<d<a+10$.
Từ đó suy ra được $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+2,a+6,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}.$
Nhận thấy nếu $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}$ thì trong $a,b,c,d$ luôn tồn tại số chia hết cho 3 không thoả mãn nên $(a,b,c,d)=(a,a+2,a+6,a+8)$. Khi này $a+b+c+d=4a+16$.
Dễ dàng chứng minh được $a+b+c+d$ chia hết cho 4. $(1)$
Nếu $a$ có chữ số tận cùng là 3, 5, 7, 9 thì trong $a,b,c,d$ sẽ tồn lại số chia hết cho 5 không thoả mãn nên $a$ có chữ số tận cùng là 1. Khi đó $4a+16\equiv 4.1+16\equiv0 \pmod 5$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 5. $(2)$
Nếu $a$ chia 3 dư 1 thì $b=a+2$ chia hết cho 3 không thoả mãn nên $a$ chia 3 dư 2. Khi đó $4a+16\equiv 4.2+16\equiv0 \pmod 3$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 3. $(3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $a+b+c+d$ chia hết cho 60.
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 26-03-2023 - 23:37
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#2
Đã gửi 27-03-2023 - 00:05
Em không biết cách này có đúng không và khá dài, mọi người có cách nào hay hơn thì chỉ em với
Hai số nguyên tố lớn hơn 5 thì có hiệu lớn hơn hoặc bằng 2 và là số chẵn. Dễ dàng chứng minh được trong các số $b-a, c-b, d-c$ nếu tồn tại một số lớn hơn hoặc bằng 6 hoặc hai số lớn hơn hoặc bằng 4 thì sẽ không tmđk $a<b<c<d<a+10$.
Từ đó suy ra được $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+2,a+6,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}.$
Nhận thấy nếu $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}$ thì trong $a,b,c,d$ luôn tồn tại số chia hết cho 3 không thoả mãn nên $(a,b,c,d)=(a,a+2,a+6,a+8)$. Khi này $a+b+c+d=4a+16$.
Dễ dàng chứng minh được $a+b+c+d$ chia hết cho 4. $(1)$
Nếu $a$ có chữ số tận cùng là 3, 5, 7, 9 thì trong $a,b,c,d$ sẽ tồn lại số chia hết cho 5 không thoả mãn nên $a$ có chữ số tận cùng là 1. Khi đó $4a+16\equiv 4.1+16\equiv0 \pmod 5$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 5. $(2)$
Nếu $a$ chia 3 dư 1 thì $b=a+2$ chia hết cho 3 không thoả mãn nên $a$ chia 3 dư 2. Khi đó $4a+16\equiv 4.2+16\equiv0 \pmod 3$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 3. $(3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $a+b+c+d$ chia hết cho 60.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 28-03-2023 - 10:54
- hxthanh và truongphat266 thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh