Đến nội dung

Hình ảnh

C/m $a+b+c+d\vdots 60$ với $a, b, c, d$ là sntố thoả: $5<a<b<c<d<a+10$

số học

Lời giải Leonguyen, 27-03-2023 - 00:05

Em không biết cách này có đúng không và khá dài, mọi người có cách nào hay hơn thì chỉ em với  :icon6:

Hai số nguyên tố lớn hơn 5 thì có hiệu lớn hơn hoặc bằng 2 và là số chẵn. Dễ dàng chứng minh được trong các số $b-a, c-b, d-c$  nếu tồn tại một số lớn hơn hoặc bằng 6 hoặc hai số lớn hơn hoặc bằng 4 thì sẽ không tmđk $a<b<c<d<a+10$.

Từ đó suy ra được $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+2,a+6,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}.$

Nhận thấy nếu $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}$ thì trong $a,b,c,d$ luôn tồn tại số chia hết cho 3 không thoả mãn nên $(a,b,c,d)=(a,a+2,a+6,a+8)$. Khi này $a+b+c+d=4a+16$.

Dễ dàng chứng minh được $a+b+c+d$ chia hết cho 4.                                                       $(1)$

Nếu $a$ có chữ số tận cùng là 3, 5, 7, 9 thì trong $a,b,c,d$ sẽ tồn lại số chia hết cho 5 không thoả mãn nên $a$ có chữ số tận cùng là 1. Khi đó $4a+16\equiv 4.1+16\equiv0 \pmod 5$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 5.               $(2)$

Nếu $a$ chia 3 dư 1 thì $b=a+2$ chia hết cho 3 không thoả mãn nên $a$ chia 3 dư 2. Khi đó $4a+16\equiv 4.2+16\equiv0 \pmod 3$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 3.                                                     $(3)$

Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $a+b+c+d$ chia hết cho 60.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Cho $a, b,c,d$ là các số nguyên tố thoả mãn $5<a<b<c<d<a+10$. Chứng minh rằng $a+b+c+d$ chia hết cho 60.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
✓  Lời giải

Em không biết cách này có đúng không và khá dài, mọi người có cách nào hay hơn thì chỉ em với  :icon6:

Hai số nguyên tố lớn hơn 5 thì có hiệu lớn hơn hoặc bằng 2 và là số chẵn. Dễ dàng chứng minh được trong các số $b-a, c-b, d-c$  nếu tồn tại một số lớn hơn hoặc bằng 6 hoặc hai số lớn hơn hoặc bằng 4 thì sẽ không tmđk $a<b<c<d<a+10$.

Từ đó suy ra được $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+2,a+6,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}.$

Nhận thấy nếu $(a,b,c,d)\in\left\{(a,a+2,a+4,a+6),(a,a+2,a+4,a+8),(a,a+4,a+6,a+8)\right\}$ thì trong $a,b,c,d$ luôn tồn tại số chia hết cho 3 không thoả mãn nên $(a,b,c,d)=(a,a+2,a+6,a+8)$. Khi này $a+b+c+d=4a+16$.

Dễ dàng chứng minh được $a+b+c+d$ chia hết cho 4.                                                       $(1)$

Nếu $a$ có chữ số tận cùng là 3, 5, 7, 9 thì trong $a,b,c,d$ sẽ tồn lại số chia hết cho 5 không thoả mãn nên $a$ có chữ số tận cùng là 1. Khi đó $4a+16\equiv 4.1+16\equiv0 \pmod 5$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 5.               $(2)$

Nếu $a$ chia 3 dư 1 thì $b=a+2$ chia hết cho 3 không thoả mãn nên $a$ chia 3 dư 2. Khi đó $4a+16\equiv 4.2+16\equiv0 \pmod 3$ hay $a+b+c+d$ chia hết cho 3.                                                     $(3)$

Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $a+b+c+d$ chia hết cho 60.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 28-03-2023 - 10:54

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh