Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyetnguyet829]

gải phương trình: $\frac{3x^2+3x+4}{2x+3} + \frac{6x^2+4x+5}{3x^2+x+1} = 5$

[Leonguyen]

ĐKXĐ: $x\neq -\frac{3}{2}$.

Đặt $3x^2+3x+4=a,3x^2+x+1=b$. Khi đó pt trở thành $\frac{a}{a-b}+\frac{a+b}{b}=5\Leftrightarrow\frac{b}{a-b}+\frac{a-b}{b}=2$.                   (1)

Dễ dàng chứng minh được $b>0$. Nếu $a-b<0$ thì VT của phương trình bé hơn 0 không thoả mãn. Do đó $a-b>0$.

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\frac{b}{a-b}+\frac{a-b}{b}\geq2\sqrt{\frac{b}{a-b}.\frac{a-b}{b}}=2$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b=a-b$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $b=a-b\Leftrightarrow 2b=a\Leftrightarrow 3x^2+3x+4=6x^2+2x+2\Leftrightarrow3x^2-x-2=0\Leftrightarrow\left[\begin{align*} x=1\\ x=-\frac{2}{3} \end{align*}\right.$ (tmĐKXĐ)

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{1,-\frac{2}{3}\right\}$.