Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số nguyên tố $n$ để $8n+1$ là lập phương của một số tự nhiên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Tìm số nguyên tố $n$ để $8n+1$ là lập phương của một số tự nhiên



#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Đặt $8n+1=a^3$, suy ra $a$ là số lẻ.

Ta có $8n+1=a^3\Leftrightarrow 8n=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=8\\ a^2+a+1=n \end{matrix}\right.$ (do $a-1$ chẵn và $a^2+a+1$ lẻ)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=9\\ n=91 \end{matrix}\right.$ (thoả mãn $n$ là số nguyên tố).

Thử lại $8n+1=8.91+1=729=9^3$ thoả mãn.

Vậy $n=91$.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đặt $8n+1=a^3$, suy ra $a$ là số lẻ.

Ta có $8n+1=a^3\Leftrightarrow 8n=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=8\\ a^2+a+1=n \end{matrix}\right.$ (do $a-1$ chẵn và $a^2+a+1$ lẻ)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=9\\ n=91 \end{matrix}\right.$ (thoả mãn $n$ là số nguyên tố).

Thử lại $8n+1=8.91+1=729=9^3$ thoả mãn.

Vậy $n=91$.

Một cách giải khác:

Ta có: $8n + 1$ là số tự nhiên lẻ

Đặt $8n+1 = (2k+1)^3  (n \in N*)$

$=> 4n = 4k^3 + 6k^2 + 3k$

 $=> \left\{\begin{matrix} k=4 \\ 4k^3+6k^2+3k=n \end{matrix}\right.$

$=> n=91$

Thử lại...






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh