Chủ đề này có 5 trả lời

[supernatural1]

Tìm tất cả hàm $f,g: \mathbb R \to \mathbb R, \;$ thoả mãn đồng thời:
$ [f(x)]^{3}-3f(x).[g(x)]^{2}=\cos 3x $
$ 3[f(x)]^2.g(x)-[g(x)]^{3}=\sin 3x $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 30-03-2023 - 11:25
$\LaTeX$

[Moon Loves Math]

Để cho gọn thì ta quy ước: $f^n(x)=\left [ f(x) \right ]^n$

Do $\cos^2(3x)+\sin^2(3x)=1$, nên:

$\left [ f^3(x)-3f(x)g^2(x) \right ]^2+\left [ 3f^2(x)g(x)-g^3(x) \right ]=1$

$\Leftrightarrow f^6(x)+3f^4(x)g^2(x)+3f^2(x)g^4(x)+g^6(x)=1$

$\Leftrightarrow \left [ f^2(x)+g^2(x) \right ]^3=1$

$\Rightarrow f^2(x)+g^2(x)=1$

Thay $g^2(x)=1-f^2(x)$ vào phương trình chứa $\cos(3x)$, ta có:

$f^3(x)-3f(x)\left [ 1-f^2(x) \right ]=\cos(3x)$

$\Leftrightarrow 4f^3(x)-3f(x)=\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x$

$\Leftrightarrow 4\left [ f^3(x)-\cos^3(x) \right ]-3\left [ f(x)-\cos x \right ]=0$

$\Leftrightarrow \left [ f(x)-\cos x \right ]\left [ 4f^2(x)+4f(x)\cos x+4\cos^2x-3 \right ]=0 \quad (\ast)$

• TH1: $f(x)=\cos x$

Ta có: $g^2(x)=1-\cos^2x=\sin^2x \Leftrightarrow \begin{align*} \left[ \begin{array}{ll} g(x) = \sin x \\ g(x) = -\sin x \end{array} \right . \end{align*}$

Thử lại thì $g(x)=-\sin x$ không thỏa phương trình chứa $\sin(3x)$.

Vậy TH này có 1 nghiệm là:  $\left ( f(x),g(x) \right )=\left ( \cos x, \sin x \right )$.

• TH2: $4f^2(x)+4f(x)\cos x+4\cos^2x-3=0$

Suy ra: $\left [ 2f(x)+\cos x \right ]^2=3-3\cos^2x=3\sin^2x$

$\Leftrightarrow \begin{align*} \left[ \begin{array}{ll} 2f(x)+\cos x = \sqrt{3}\sin x \\ 2f(x)+\cos x = -\sqrt{3}\sin x \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x -\frac{1}{2}\cos x=\cos\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) \\ f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x -\frac{1}{2}\cos x=\cos\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) \end{array} \right . \right . \end{align*}$

Với $f(x)=\cos\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right )$ thì $g(x)=\pm \sin\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right )$

Thử lại như TH1, chỉ có $g(x)=\sin\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right )$ là thỏa.

Tương tự, với $f(x)=\cos\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right )$ thì $g(x)=\sin\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right )$

Vậy TH này có 2 nghiệm là: $\left ( f(x),g(x) \right )=\left ( \cos \left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ), \sin \left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) \right )$ hoặc $\left ( f(x),g(x) \right )=\left ( \cos \left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ), \sin \left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) \right )$.

• TH3: Tồn tại một hàm $F(x)$ nào đó sao cho $F(x)$ sẽ thỏa mãn TH1 với một vài giá trị $x\in A$ và $F(x)$ sẽ thỏa mãn TH2 với các giá trị $x\in \mathbb{R} \setminus A$ còn lại.

Hàm $F(x)$ được xác định như sau có thể thỏa mãn được pt $(\ast)$:

$F(x)= \begin{align*} \left \{ \begin{array}{ll} \cos x &, x \in A \\ \cos\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in B \\ \cos\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in\mathbb{R}\setminus \left ( A\cup B \right ) \end{array} \right . \end{align*}$

, với $A\cap B=\varnothing$ và $\min\left \{ |A|, |B|, | \mathbb{R}\setminus ({A\cup B})| \right \}=1$

Tương tự như 2 trường hợp trên, $g(x)$ sẽ được xác định bằng $G(x)= \begin{align*} \left \{ \begin{array}{ll} \sin x &, x \in A \\ \sin\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in B \\ \sin\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in\mathbb{R}\setminus \left ( A\cup B \right ) \end{array} \right . \end{align*}$.

 

 

 

Tóm cái váy lại, bài toán có một dạng nghiệm tổng quát là:

$f(x)= \begin{align*} \left \{ \begin{array}{ll} \cos x &, x \in A \\ \cos\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in B \\ \cos\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in\mathbb{R}\setminus \left ( A\cup B \right ) \end{array} \right . \end{align*}$ và $g(x)= \begin{align*} \left \{ \begin{array}{ll} \sin x &, x \in A \\ \sin\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in B \\ \sin\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) &, x\in\mathbb{R}\setminus \left ( A\cup B \right ) \end{array} \right . \end{align*}$ với $A\cap B=\varnothing$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Moon Loves Math: 18-08-2023 - 13:20

[perfectstrong]

$\Leftrightarrow \left [ f(x)-\cos x \right ]\left [ 4f^2(x)+4f(x)\cos x+4\cos^2x-3 \right ]=0 \quad (*)$

• TH1: $f(x)=\cos x$

Ta có: $g^2(x)=1-\cos^2x=\sin^2x \Leftrightarrow \begin{align*} \left[ \begin{array}{ll} g(x) = \sin x \\ g(x) = -\sin x \end{array} \right . \end{align*}$

Thử lại thì $g(x)=-\sin x$ không thỏa phương trình chứa $\sin(3x)$.

Vậy TH này có 1 nghiệm là:  $\left ( f(x),g(x) \right )=\left ( \cos x, \sin x \right )$.

• TH2: $4f^2(x)+4f(x)\cos x+4\cos^2x-3=0$

Suy ra: $\left [ 2f(x)+\cos x \right ]^2=3-3\cos^2x=3\sin^2x$

$\Leftrightarrow \begin{align*} \left[ \begin{array}{ll} 2f(x)+\cos x = \sqrt{3}\sin x \\ 2f(x)+\cos x = -\sqrt{3}\sin x \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x -\frac{1}{2}\cos x=\cos\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) \\ f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x -\frac{1}{2}\cos x=\cos\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) \end{array} \right . \right . \end{align*}$

Với $f(x)=\cos\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right )$ thì $g(x)=\pm \sin\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right )$

Thử lại như TH1, chỉ có $g(x)=\sin\left ( x-\frac{2\pi}{3} \right )$ là thỏa.

Tương tự, với $f(x)=\cos\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right )$ thì $g(x)=\sin\left ( x+\frac{2\pi}{3} \right )$

Vậy TH này có 2 nghiệm là: $\left ( f(x),g(x) \right )=\left ( \cos \left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ), \sin \left ( x-\frac{2\pi}{3} \right ) \right )$ hoặc $\left ( f(x),g(x) \right )=\left ( \cos \left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ), \sin \left ( x+\frac{2\pi}{3} \right ) \right )$.

Phải cẩn thận khi gặp dạng phương trình (*) trong khi giải PT hàm. Lưu ý rằng bạn có (*) đúng với mọi $x$, chứ không phải chỉ vế đầu đúng với mọi $x$, hoặc vế sau đúng với mọi $x$. Có thể có những hàm lúc thì rơi vào TH1, lúc thì rơi vào TH2.

Bạn phải chứng minh thêm rằng:

Mệnh đề

Không tồn tại hàm $f$ nào sao cho tồn tại $a \ne b$ để $f(a)=\cos a$ (TH1) và $4f^2(b)+4f(b)\cos b + 4\cos ^2 b -3 = 0$ (TH2).

[Moon Loves Math]

Phải cẩn thận khi gặp dạng phương trình (*) trong khi giải PT hàm. Lưu ý rằng bạn có (*) đúng với mọi $x$, chứ không phải chỉ vế đầu đúng với mọi $x$, hoặc vế sau đúng với mọi $x$. Có thể có những hàm lúc thì rơi vào TH1, lúc thì rơi vào TH2.

Bạn phải chứng minh thêm rằng:

Mệnh đề

Không tồn tại hàm $f$ nào sao cho tồn tại $a \ne b$ để $f(a)=\cos a$ (TH1) và $4f^2(b)+4f(b)\cos b + 4\cos ^2 b -3 = 0$ (TH2).

Cảm ơn anh đã góp ý ạ. Em đúng là quên TH đó thật  .

Em đã bổ sung thêm một TH3 rồi, có lẽ rằng nếu thêm vào giả thiết hàm $f$ khả vi thì em có thể chứng minh được mệnh đề anh nói.

[perfectstrong]

Bạn đã thử lại nghiệm tổng quát chưa?

[Moon Loves Math]

Em có thử lại nghiệm tổng quát rồi, em nghĩ là thỏa mãn á.