Chủ đề này có 2 trả lời

[chcd]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt BC tại K, kẻ tiếp tuyến KD. Gọi E, F, M lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC và BC

a) Chứng minh KA.KD = KB.KC và DB.DF = DC.DE

b) Chứng minh M là trung điểm của EF

 

[thanhng2k7]

a) Do $KA,KD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $KA^2=KA.KD=KB.KC$ 

Lại có $\widehat{EBD}=\widehat{ACD}$ ( do $ABDC$ nội tiếp )

Nên $\Delta BDE \sim \Delta CDF\Rightarrow BD.FD=DC.DE$

 

b)Trước hết ta đi chứng minh $M,E,F$ thẳng hàng 

Ta có $\widehat{BDE}=\widehat{CDF}$ ( từ  $\Delta BDE \sim \Delta CDF)

Mà $BMDE,CDMF$ nội tiếp nên $\widehat{BME}=\widehat{FMC}$

Hay $M,E,F$ thẳng hàng 

Mặt khác , từ $\widehat{EMD}=\widehat{EBD}=\widehat{ACD}, \widehat{MED}=\widehat{MBD}=\widehat{CAD}$ ta có $\Delta MED \sim \Delta CAD$

Suy ra $ME=\frac{MD.CA}{CD}$

Tương tự $MF=\frac{AB.MD}{BD}$

Vậy để $M$ là trung điểm $EF$ thì $ABDC$ phải là tứ giác điều hòa 

Mà do $KA,KD,BC$ cắt nhau tại $K$ nên $ABDC$ là tứ giác điều hòa hay ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 30-03-2023 - 21:52

[mocchuan]

a) Do $KA,KD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $KA^2=KA.KD=KB.KC$ 

Lại có $\widehat{EBD}=\widehat{ACD}$ ( do $ABDC$ nội tiếp )

Nên $\Delta BDE \sim \Delta CDF\Rightarrow BD.FD=DC.DE$

 

b)Trước hết ta đi chứng minh $M,E,F$ thẳng hàng 

Ta có $\widehat{BDE}=\widehat{CDF}$ ( từ  $\Delta BDE \sim \Delta CDF)

Mà $BMDE,CDMF$ nội tiếp nên $\widehat{BME}=\widehat{FMC}$

Hay $M,E,F$ thẳng hàng 

Mặt khác , từ $\widehat{EMD}=\widehat{EBD}=\widehat{ACD}, \widehat{MED}=\widehat{MBD}=\widehat{CAD}$ ta có $\Delta MED \sim \Delta CAD$

Suy ra $ME=\frac{MD.CA}{CD}$

Tương tự $MF=\frac{AB.MD}{BD}$

Vậy để $M$ là trung điểm $EF$ thì $ABDC$ phải là tứ giác điều hòa 

Mà do $KA,KD,BC$ cắt nhau tại $K$ nên $ABDC$ là tứ giác điều hòa hay ta có đpcm.

Exactly