Đến nội dung

Hình ảnh

Lý thuyết về các derivator


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Ta đã biết rằng các phạm trù tam giác là nơi người ta làm đại số đồng điều nhưng có một vấn đề không tốt của nó là xây dựng nón (cone construction) không có tính hàm tử. Đây là chỗ tạo ra rất nhiều vấn đề thậm chí khiến người ta nghi ngờ rằng phạm trù tam giác chưa phải khái niệm đúng (ngày nay ta có các $\infty$-phạm trù ổn định và các phạm trù mô hình ổn định). Nhưng chúng ta cũng không thể định nghĩa lại phạm trù tam giác mà dùng một hàm tử nón được. Bản thân Verdier là người nghĩ ra định nghĩa đã nhận xét rằng một phạm trù tam giác mà được trang bị một hàm tử nón thì phải chẻ. Do đó nếu muốn xây dựng nón có tính hàm tử thì nó không phải một tính chất của phạm trù gốc, mà nó nằm trên một "phạm trù cao hơn". Nói khác nữa, khi nghiên cứu phạm trù tam giác (và đặc biệt hình thức luận sáu hàm tử) ta "không nên" nghiên cứu từng phạm trù đơn lẻ mà phải đi theo các họ phạm trù.

 

Một trong các cách đầu tiên được đề xuất để sửa chữa tính không-hàm tử là lý thuyết về các derivator của Grothendieck trong Pursuing Stacks năm 1983 và sau đó được công bố lại dưới tập bản thảo 2000 trang có tên Les Dérivateurs. Bài viết này của mình là một dẫn nhập về lý thuyết derivator. Một trong các cách hiểu nó là đọc lại các khái niệm trong tô-pô. Nhưng mình sẽ tiếp cận trực tiếp từ hướng trừu tượng. Ngày nay thì lý thuyết derivator đã có nhiều ứng dụng của nó, trong hạn chế hiểu biết của mình, chủ yếu là để sửa tính không hàm tử của rất nhiều xây dựng. Ví dụ trong đối đồng điều étale người ta hay bảo lấy chu trình triệt tiêu (vanishing cycles) là xây dựng nón của hàm tử đồng nhất và chu trình nearby (nearby cycles) là sai. Thực chất nó không là hàm tử, nhưng tính toán thì không thực sự tạo ra vấn đề.

 

Các động lực ban đầu của derivator có thể nói là đến từ các xây dựng trong phạm trù mô hình. Một điều mà ta rất hay gặp trong phạm trù mô hình là xây dựng của chúng quá phức tạp. Derivator là một cách để ta có thể thao tác trên sáu toán tử mà, như Joseph Ayoub nói, không bao giờ phải quay lại với phạm trù mô hình.

 

Định nghĩa và ví dụ

 

Ký hiệu $\mathrm{Cat}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù nhỏ (small categories) và $\mathrm{CAT}$ bởi $2$-phạm trù của các phạm trù (với vật là phạm trù không nhất thiết nhỏ, $1$-cấu xạ là hàm tử, $2$-cấu xạ là biến đổi tự nhiên).

 

Định nghĩa
Một tiền-derivator (prederivator) $\mathbb{D}$ là một $2$-hàm tử ngặt (tất cả đẳng thức là dấu bằng, không phải đẳng cấu) $\mathbb{D}: \mathrm{Cat}^{op} \longrightarrow \mathrm{CAT}.$.

Nhận xét
Ở đây $\mathrm{Cat}^{op}$ ta chỉ đảo chiều $1$-cấu xạ, tức là các hàm tử và giữ nguyên chiều của $2$-cấu xạ.

Hãy viết cụ thể định nghĩa này ra:

  • Ở mức các vật, mỗi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một phạm trù $\mathbb{D}(I)$.
  • Với mọi hàm tử $u:I \longrightarrow J$ trong $\mathrm{Cat}$ cho ta một hàm tử $u^*:\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.
  • Với mọi biến đổi tự nhiên $\alpha: u \longrightarrow v$ giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow J$ ta có một biến đổi tự nhiên $\alpha^*:u^* \longrightarrow v^*$.

Ký hiệu $\mathbf{e}$ là phạm trù gồm một vật một cấu xạ (tức là groupoid tầm thường). Nó là vật cuối trong $\mathrm{Cat}$. Ta goi phạm trù $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ là phạm trù nền của derivator $\mathbb{D}$. Hầu hết các xây dựng của ta sẽ xoay quanh phạm trù này theo một nghĩa nào đó.

 

Sau đây là các ví dụ.

Ví dụ

  • Mọi phạm trù nhỏ $I$ cho ta một derivator gọi là derivator khả diễn bởi $I$. Nó định nghĩa bởi $$I(J) = J^I = \mathrm{Func}(I,J)$$ (phạm trù các hàm tử - functor category). Với mọi hàm tử $u:J \longrightarrow J'$ ta có một hàm tử $u^*:\mathrm{Func}(I,J') \longrightarrow \mathrm{Func}(I,J)$ cho bởi phép hợp thành. Cũng bằng phép hợp thành ta có biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử. Phạm trù nền của nó $I(\mathbf{e}) = I$.
  • Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù abel và ký hiệu $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})$ phạm trù các xích phức kiểu đổi đồng điều không bị chặn hai đầu. Ký hiệu $\mathbf{W}$ là lớp các tựa đẳng cấu của các xích. Với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathcal{A}^I$ cũng là phạm trù abel. Phép gán $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) = D(\mathcal{A}^I)$$ cho ta một prederivator trong đó $D$ ký hiệu phạm trù dẫn xuất của một phạm trù abel. Có một xây dựng khác tương đương là ta xét $\mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I$ như một phạm trù mô hình trong đó các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên mà là tựa đẳng cấu tại mọi bậc. Ký hiệu lớp các đồng luân yếu này bởi $\mathbf{W}^I$ thì ta có $$\mathbb{D}_{\mathcal{A}}(I) \simeq \mathbf{Ch}(\mathcal{A})^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
  • Ký hiệu $\mathbf{Top}$ bởi phạm trù các không gian tô-pô. Ta gọi một ánh xạ liên tục $f: X \longrightarrow Y$ là một tương đương đồng luân yếu nếu $f_n: \pi_n(X,x_0) \longrightarrow \pi_n(Y,f(x_0))$ là đẳng cấu với mọi $x_0 \in X$ và $n \geq 0$. Ta biết rằng $\mathbf{Top}$ là một phạm trù mô hình với các đồng luân yếu chính là các tương đương đồng luân yếu. Không những vậy, với mọi phạm trù nhỏ $I$ thì phạm trù $\mathbf{Top}^I$ cũng là một phạm trù mô hình trong đó một đồng luân yếu giữa hai hàm tử $u,v: I \longrightarrow \mathbf{Top}$ là một biến đổi tự nhiên mà là đồng luân yếu tại mọi vị trí. Điều này giống với trường hợp ở trên. Do đó ta có một prederivator $$\mathbb{D}_{\mathbf{Top}}(I) = \mathbf{Top}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$
  • Cả hai trường hợp trên nằm trong một xây dựng tổng quát hơn. Cho $\mathcal{M}$ là một phạm trù mô hình với lớp đồng luân yếu ký hiệu bởi $\mathbf{W}$. Để tốt cho các xây dựng, ta giả sử $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ (cofibrantly generated model category) khi đó với mỗi phạm trù nhỏ ta có một phạm trù $\mathcal{M}^I$ là phạm trù mô hình với các đồng luân yếu là các biến đổi tự nhiên và là đồng luân yếu tại mỗi bậc, ta ký hiệu lớp này bởi $\mathbf{W}^I$. Khi đó ta có một prederivator $$\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(I) = \mathcal{M}^I[\mathbf{W}^I]^{-1}.$$ Phạm trù nền của prederivator này hiển nhiên là chính $\mathcal{M}$.

 

Giờ ta sẽ thấy mỗi prederivator khi tính trên từng phạm trù nhỏ $I$ sẽ cho ta một biểu đồ trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Xây dựng này như sau: lấy $i \in I$ là một vật thì nó có thể xem như một hàm tử $i:\mathbf{e} \longrightarrow I$. Một cấu xạ $i \longrightarrow j$ trong $I$ có thể xem như một biến đổi tự nhiên giữa hai hàm tử $i \Rightarrow j: \mathbf{e} \longrightarrow I$. Khi đó mỗi cấu xạ $i \longrightarrow j$ cho ta một biến đổi tự nhiên $\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nói cách khác, ta có một hàm tử

$$\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathrm{Func}\left(I^{op},\mathbb{D}(\mathbf{e}) \right).$$ Hàm tử này cho ta một biểu đồ hình $I^{op}$ ở trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$. Nhưng lưu ý: hàm tử này hầu như không bao giờ là đẳng cấu.

 

Để đi đến các phiên bản hoàn chỉnh của derivator, ta cần thêm ít nhất hai hàm tử nữa.

 

Định nghĩa

Cho $\mathbb{D}$ là một prederivator và $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử. Ta nói

  • $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan trái theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*):\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$.
  • $\mathbb{D}$ nhận một mở rộng Kan phải theo $u$ nếu tồn tại một cặp liên hợp $(u^* \dashv u_*):\mathbb{D}(J) \longrightarrow \mathbb{D}(I)$.

 

Tuy nhiên mở rộng Kan không đi theo một nghĩa thông thường mà nó phải thỏa mãn một số luật base change. Ta hãy quay lại phạm trù các vật đơn hình từng được xem xét ở đây. Trong ví dụ 7 ta đã biết rằng có một cặp liên hợp $(u_{\#} \dashv u^*)$ (trong bài đó ký hiệu $u_!$ thay vì $u_{\#}$, nhưng minh sẽ giải thích sau tại sao $u_{\#}$ là ký hiệu tốt hơn) và quan trọng hơn $u_{\#}$ có thể tính như một đối giới hạn trên một phạm trù slice nào đó. Điều này khiến ta quan tâm tới các biểu đồ sau: cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử và $j :\mathbf{e} \longrightarrow J$ là một vật.

\begin{CD} u/j @>p>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

\begin{CD} j/u @>q>> I\\@V\pi_{u/j}VV @VVuV\\ \mathbf{e} @>j>> J \end{CD}

trong đó

  • $u/j$ có vật là các cặp $(i,f:u(i) \longrightarrow j)$.
  • $j/u$ có vật là các cặp $(i,f:j \longrightarrow u(i))$.

Nói riêng ta có các cấu xạ đổi cơ sở $\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#}$

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\mathbf{e}) & \mathbb{D}(u/j)  \ar[l]_{\pi_{\#}} & \mathbb{D}(I) \ar[l]_{p^*}  & \\
                                     & \mathbb{D}(\mathbf{e}) \ar[u]^{\pi^*} \ar@/^1pc/[ul]^{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(J) \ar[u]_{u^*} \ar[l]_{j^*} & \mathbb{D}(I) \ar[l]^{u_{\#}} \ar@/_1pc/[ul]_{\mathrm{id}}
}
\end{xy}

Tương tự ta có một cấu xạ đổi cơ sở $j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$.

Định nghĩa

Một tiền derivator là một derivator nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

  • (Đối tích sang tích) $\mathbb{D}$ gửi đối tích sang tích. Nói cách khác, ta có một tương đương phạm trù $\mathbb{D}\big(\coprod_{i \in I}A_i \big) \simeq \prod_{i\in I}\mathbb{D}(A_i).$ Nói riêng ta có $\mathbb{D}(\varnothing) = \mathbf{e}.$
  • (Đẳng cấu kiểm tra qua thớ) Một cấu xạ $f: X \longrightarrow Y$ trong $\mathbb{D}(I)$ là đẳng cấu khi và chỉ khi kéo lùi của nó qua tất cả các vật là đẳng cấu, i.e. $f_i: X_i \longrightarrow Y_i$ là đẳng cấu trong $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ trong đó $X_i = i^*X$.
  • (Tồn tại các mở rộng Kan) $\mathbb{D}$ nhận mở rộng Kan trái và phải theo mọi hàm tử $u: I \longrightarrow J$.
  • (Các định lý đổi cơ sở) Xét các biểu đồ giao hoán như trên khi đó các cấu xạ đổi cơ sở $$\pi_{\#}p^* \longrightarrow j^*u_{\#} \ \  j^*u_* \longrightarrow \pi_* q^*$$ là đẳng cấu.

Giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về các derivator

Ví dụ

  • Với mọi phạm trù mô hình $\mathcal{M}$ sinh bởi các đối phân thớ thì $\mathbf{Ho}_{\mathcal{M}}(-)$ là một derivator.
  • Một mô hình khác xuất phát từ tô-pô: xét $\mathbf{Top}_{\bullet}$ là phạm trù các không gian tô-pô định điểm (pointed topological spaces). Một phổ các không gian tô-pô là một họ $(X_n)_{n \geq 0}$ các không gian tô-pô cùng với các ánh xạ nối $\Sigma X_n \longrightarrow X_{n+1}$. Một cấu xạ giữa hai phổ là một họ cấu xạ giữa từng bậc làm giao hoán các cấu xạ nối. Một phổ được gọi là $\Omega$-phổ nếu liên hợp của các cấu xạ nối $X_n \longrightarrow \Omega X_{n+1}$ là các đồng luân yếu. Cho trước một phổ $X=(X_n)$, ta định nghĩa nhóm đồng luân ổn định của nó bởi $$\pi_{n}^{st}(X) = \mathrm{colim}_a \pi_{n+a}(X_a)$$ trong đó đối giới hạn này có nghĩa do ta có các cấu xạ $$[S^{n+a},X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},\Sigma X_n] \longrightarrow [S^{n+a+1},X_{n+1}].$$ Một cấu xạ được gọi là một tương đương đồng luân ổn định nếu nó cảm sinh đẳng cấu trên tất cả các nhóm đồng luân ổn định. Phạm trù đồng luân của nó chính là phạm trù đồng luân ổn định trong tô-pô. Phạm trù này sinh bởi các đối phân thớ và do đó theo ví dụ trên cho ta một derivator gắn với nó.
  • Nếu $\mathbb{D}$ là một derivator thì với mọi $I$, pre-derivator $\mathbb{D}_I(J) = \mathbb{D}(I \times J)$ cũng là một derivator. Hơn nữa ta còn có một hàm tử $I$-dạng $$\mathbb{D}(I \times J) \longrightarrow \mathrm{Func}(I^{op},\mathbb{D}(J)).$$

Sau đây là một số tính chất cơ bản của derivator

Bổ đề

Cho $\mathbb{D}$ là một derivator, khi đó $\mathbb{D}(I)$ có vật đầu và vật cuối với mọi $I$. Tổng quát hơn, $\mathbb{D}(I)$ là đầy đủ và đối đầy đủ.

Chứng minh

Cho $S$ là một tập hợp xem như một phạm trù rời rạc, khi đó ta có một biểu đồ giao hoán

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(\coprod_{s \in S}I) \ar[r] \ar[d] & \prod_{s \in S}\mathbb{D}(I) \ar[d]   \\
                              \mathbb{D}(S \times I) \ar[r]  & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I))
}
\end{xy}

trong đó theo tiên đề của derivator thì hàng ngang bên trên là tương đương, và hai cột dọc là tương đương theo nghĩa hiển nhiên. Do đó hàng ngang bên dưới, tức là hàm tử $S$-dạng là tương đương. Ta lại có một biểu đồ

\begin{xy}
\xymatrix {
\mathbb{D}(S \times I) \ar[r] \ar[d]_{(pr_2)^*} & \mathrm{Func}(S^{op},\mathbb{D}(I)) \\
                              \mathbb{D}(I) \ar[r]_{\mathrm{id}}  & \mathbb{D}(I) \ar[u]^{\Delta}
}
\end{xy}

giao hoán trong đó $\Delta$ là hàm tử đường chéo. Nhưng do $(pr_1)^*$ nhạn cả mở rộng Kan trái lẫn phải (tức là liên hợp trái lẫn phải) nên hàm tử đường chéo cũng phải nhận cả liên hợp trái lẫn phải. Tức là tồn tại cả tích và đối tích theo tập chỉ số $S$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-04-2023 - 21:17

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Đồng luân tử định điểm

 

Nhận xét

Từ bây giờ trở đi ta sẽ dịch derivator là đồng luân tử. Dĩ nhiên ta không thể dịch derivator bằng cách kết hợp "đạo hàm" (derivative) và "toán tử" (operator) hoặc "dẫn xuất" (derive) và "operator" để thành một cái gì đó như kiểu đạo tử hay dẫn tử được vì cách gọi này không gợi ra ý nghĩa của khái niệm. Cách dịch của mình lấy từ việc lý thuyết derivator phát hiện độc lập bởi hai người là A. Grothendieck và A.Heller trong đó Heller gọi derivator là một "homotopy theory" tức là một lý thuyết đồng luân. Do đó kết hợp cả hai lại mình nghĩ nên dịch là đồng luân tử.

Định nghĩa

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử, ta biết rằng $\mathbb{D}(I)$ có cả vật đầu $\varnothing$ và vật cuối $\bullet$. Nếu cấu xạ duy nhất giữa hai vật này là đẳng cấu với mọi $I$ thì ta nói $\mathbb{D}$ là định điểm (pointed). Nói cách khác, $\mathbb{D}$ là định điểm nếu $\mathbb{D}(I)$ có vật không với mọi $I$.

Bổ đề

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử, khi đó:

  • $\mathbb{D}$ là định điểm khi và chỉ khi $\mathbb{D}(\mathbf{e})$ có vật không.
  • Nếu $\mathbb{D}$ là định điểm thì với mọi hàm tử $u: I \longrightarrow J$, cả ba hàm tử $u_{\#},u^*,u_*$ bảo toàn vật không.

Chứng minh

 

Định nghĩa

Cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử đầy đủ trung thành.

  • Ta gọi $u$ là một sàng (sieve) nếu với mọi cấu xạ $u(a) \longrightarrow b$ thì $b$ nằm trong ảnh của $u$.
  • Ta gọi $u$ là một đối sàng (cosieve) nếu với mọi cấu xạ $b \longrightarrow u(a)$ thì $b$ nằm trong ảnh của $u$.

Ví dụ

Sau đây là hai ví dụ quan trọng nhất về sàng và đối sàng. Gọi $\mathbf{1}$ là poset $(0<1)$ xem như một phạm trù, xét $\square$ là phạm trù $\mathbf{1} \times \mathbf{1}$. Ở dạng biểu đồ ta có $\square$ là phạm trù

\begin{xy}
\xymatrix {
(0,0) \ar[r] \ar[d] & (1,0) \ar[d] \\
                 (0,1) \ar[r]  & (1,1)
}
\end{xy}

Ta ký hiệu $\ulcorner$ và $\lrcorner$ là hai phạm trù con sau

\begin{xy}
\xymatrix {
(0,0) \ar[r] \ar[d] & (1,0) \\
                 (0,1)  &
}
\end{xy}

\begin{xy}
\xymatrix {
 & (1,0) \ar[d] \\
                 (0,1) \ar[r]  & (1,1)
}
\end{xy}

Khi đó $\ulcorner$ là một đối sàng còn $\lrcorner$ là một sàng. Ta ký hiệu các phép nhúng tương ứng bởi $i_{\ulcorner}$ và $i_{\lrcorner}$.

Bổ đề dưới đây nói rằng sàng và đối sàng biểu hiện như nhúng mở và nhúng đóng trong hình học đại số. Để bắt đầu ta sẽ chứng minh rằng sàng và đối sàng là một khái niệm mà biểu hiện của nó không phụ thuộc vào đồng luân tử (giống như không phụ thuộc vào $2$-hàm tử $D^b_c(-,\mathbb{Q}_l)$).

Định nghĩa

Ta gọi một hình vuông

\begin{xy}
\xymatrix {
 I \ar[d]_{u} \ar[r]^{v} & I' \ar[d]^{u'} \\
        J \ar[r] _{w} & J'
}
\end{xy}

là khớp đồng luân nếu với mọi đồng luân tử thì hai cấu xạ đổi cở

$$u_{\#}v^* \longrightarrow w^*u'_{\#}   \ \ \ \ \ u^{'*} w_* \longrightarrow v_*u^*$$ là các đẳng cấu.

Bổ đề

Cho $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử đầy đủ, trung thành, khi đó hình vuông

\begin{xy}
\xymatrix {
 I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
        I \ar[r] _{u} & J
}
\end{xy}

là khớp đồng luân.

Chứng minh

Do ta đang làm việc với các đồng luân tử nên đẳng cấu có thể kiểm tra qua các thớ. Như vậy ta có thể rút gọn về chứng minh rừang hình vuông dán bởi hai hình vuông sau là khớp đồng luân.

\begin{xy}
\xymatrix {
 I/i \ar[r]^{p}  \ar[d]_{\pi}& I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
   \mathbf{e} \ar[r]_{i}  &   I \ar[r] _{u} & J.
}
\end{xy}

Do $u$ là đầy đủ, trung thành nên $I/u(i) \simeq I/i$. Điều này một lần nữa khiến ta rút gọn về chứng minh hình vuông dán bởi ba hình sau là khớp đồng luân.

\begin{xy}
\xymatrix {
 I/u(i) \ar[r] \ar[d]_{\pi} & I/i \ar[r]^{p}  \ar[d]_{\pi}& I \ar[d]_{\mathrm{id}} \ar[r]^{\mathrm{id}} & I \ar[d]^{u} \\
  \mathbf{e} \ar[r]_{=} & \mathbf{e} \ar[r]_{i}  &   I \ar[r] _{u} & J.
}
\end{xy}

Nhưng điều này là hiển nhiên theo tiên đề bốn.

Bổ đề

Cho $\mathbb{D}$ là một đồng luân tử và $u: I \longrightarrow J$ là một hàm tử, khi đó:

  • $u$ là một đối sàng thì $u_{\#}:\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$ là trung thành và đầy đủ. Hơn nữa $X \in \mathbb{D}(J)$ nằm trong ảnh của $u_{\#}$ khi và chỉ khi $X_j \simeq \varnothing$ với mọi $j \in J - u(I)$.
  • $u$ là một sàng thì $u_{*}:\mathbb{D}(I) \longrightarrow \mathbb{D}(J)$ là trung thành và đầy đủ. Hơn nữa $X \in \mathbb{D}(J)$ nằm trong ảnh của $u_{\#}$ khi và chỉ khi $X_j \simeq \bullet $ với mọi $j \in J - u(I)$.

Chứng minh

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-04-2023 - 21:26

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh