Đến nội dung

Hình ảnh

Tính tổng $\sum_{0\le k\le n/2} \frac{(-1)^kn}{n-k}{n-k\choose k}$

- - - - - đtth

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Với $n$ là số nguyên dương, hãy tính tổng sau:
\begin{equation}\label{s1}
S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\dfrac{(-1)^kn}{n-k}{n-k\choose k}
\end{equation}

#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Với $n$ là số nguyên dương, hãy tính tổng sau:
\[S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\dfrac{(-1)^kn}{n-k}{n-k\choose k}\]

Xử lí tương tự ở đây, ta có

\[\sum_{n\ge 0}S_nx^n=\frac{1-x^2}{1-x+x^2}.\]

Nhờ thầy Thanh đã chỉ ra kết quả nên phần còn lại rất đơn giản. Chú ý rằng $\cos\frac{n\pi}{3}-\cos\frac{(n-1)\pi}{3}+\cos\frac{(n-2)\pi}{3}=0$, nên

\[2\sum_{n\ge 0}\cos\frac{n\pi}{3}x^n=\frac{2-x}{1-x+x^2}=1+\frac{1-x^2}{1-x+x^2}=1+S_0+\sum_{n\ge 1}S_nx^n.\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-09-2023 - 16:53

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đtth

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh