Đến nội dung

Hình ảnh

Hàm lũy thừa

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
Thegooobs

Thegooobs

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Bài toán:

Tính $y'$ nếu $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$

Bài giải:

Ta có:  $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=x^{\frac{-2}{3}}$

=> $y'=\dfrac{-2}{3}x^{\frac{-5}{3}}$

Cho em hỏi sao người lại dùng hàm

$y=x^{\frac{-2}{3}}$

để thay thế hàm

$y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ để tính đạo hàm trong khi 2 hàm đó khác tập xác định một hàm là R\{0} một hàm là $(0,+\infty)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 01-04-2023 - 16:55

$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$


#2
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Cả hai hàm số đều là như nhau, chỉ khác nhau về mặt kí hiệu mà thôi. Chúng đều có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#3
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Ồ nghĩ lại thì đây là một câu hỏi rất hay. Bạn @Thegooobs cho biết là trong sách định nghĩa hàm $x^k$ thế nào được không?


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Bài toán:
Tính $y'$ nếu $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$
Bài giải:
Ta có: $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=x^{\frac{-2}{3}}$
=> $y'=\dfrac{-2}{3}x^{\frac{-5}{3}}$
Cho em hỏi sao người lại dùng hàm
$y=x^{\frac{-2}{3}}$
để thay thế hàm
$y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ để tính đạo hàm trong khi 2 hàm đó khác tập xác định một hàm là R\{0} một hàm là $(0,+\infty)$

Sách giáo khoa Giải tích 12 viết rằng :
"Với $\alpha$ không nguyên, tập xác định (của hàm $y=x^\alpha$) là $(0;+\infty)$"
Câu này có chỗ chưa đúng. Cần phải sửa lại như sau :
+ Với $\alpha$ không nguyên :
- Nếu $\alpha$ là số vô tỷ thì tập xác định là $(0;+\infty)$
- Nếu $\alpha$ là số hữu tỷ có thể viết dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ :
$\cdot$ Nếu $b$ chẵn và $\alpha > 0$ thì tập xác định là $[0;+\infty)$
$\cdot$ Nếu $b$ chẵn và $\alpha < 0$ thì tập xác định là $(0;+\infty)$.
$\cdot$ Nếu $b$ lẻ và $\alpha > 0$ thì tập xác định là $\mathbb{R}$
$\cdot$ Nếu $b$ lẻ và $\alpha < 0$ thì tập xác định là $\mathbb{R}\ \setminus \left \{ 0 \right \}$.
Như vậy hai hàm $y=x^{-\frac{2}{3}}$ và $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ có cùng tập xác định và đồng nhất với nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-04-2023 - 06:00

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Thegooobs

Thegooobs

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Ồ nghĩ lại thì đây là một câu hỏi rất hay. Bạn @Thegooobs cho biết là trong sách định nghĩa hàm $x^k$ thế nào được không?

Tạm thời em chưa thấy ạ !


$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$


#6
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết
Đánh dấu lời giải ở trên là @Thegooobs đánh dấu hay là bạn ĐHV nào làm ấy nhỉ? Chủ đề này thực ra là chưa thảo luận xong.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Do em đánh dấu ạ. Em thấy anh Nghiêm trả lời đúng và đầy đủ rồi, bạn Thegoobs cũng trả lời cảm ơn nên em đánh dấu luôn. Nhưng nghĩ lại thì nên để bạn ấy tự đánh dấu thì tốt hơn.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#8
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

À không sao Hân à, cứ mạnh dạn đánh dấu trả lời bởi vì thành viên vẫn chưa có thói quen làm việc này. Chủ yếu anh hỏi để nếu chính @Thegooobs đánh dấu thì anh để nguyên vậy, còn nếu là ĐHV thì anh tạm thời bỏ đi để thảo luận xong rồi mới chọn sau. Hôm nay bận quá cứ ngồi gõ lắt nhắt một lúc lại phải dừng :\ 

 

Về tập xác định của hàm $x^{\alpha}$ thì có nhiều thứ hay ho để nói. Ở trên thầy @chanhquocnghiem có đưa ra định nghĩa bổ sung cho SGK, nhưng thực ra thì định nghĩa SGK như vậy là có lí do của nó cả. Hẹn hôm sau Nesbit thảo luận tiếp chi tiết hơn (trước mắt thì anh khuyên @Thegooobs nên theo SGK để tránh rắc rối nhé, tức là lời giải trên kia chưa chặt chẽ).

 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#9
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Bạn có thể viết như sau

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \begin{cases} x^{-\tfrac{2}{3}} & \text{nếu } x > 0, \\ (-x)^{-\tfrac{2}{3}} & \text{nếu } x < 0. \end{cases}$$
Vì thế đạo hàm của hàm này trên từng khoảng $(-\infty,0)$ và $(0,+\infty)$ là

$$\begin{cases} -\frac{2}{3}x^{-\tfrac{5}{3}} = -\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^5}} & \text{nếu } x > 0, \\ -\frac{2}{3}  (-x)^{-\tfrac{5}{3}} \cdot (-1) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{(-x)^5}} = -\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^5}} &  \text{nếu } x < 0. \end{cases}$$

Vì thế ta có công thức

$$\dfrac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = -\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^5}}$$

với mọi $x \neq 0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 03-04-2023 - 04:04

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#10
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

@Thegooobs có thể làm như anh @nmlinh16 hướng dẫn ở trên, hoặc nếu không muốn xét dấu thì cứ dùng hàm trị tuyệt đối là được.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#11
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

@Thegooobs có thể làm như anh @nmlinh16 hướng dẫn ở trên, hoặc nếu không muốn xét dấu thì cứ dùng hàm trị tuyệt đối là được.

Vấn đề không hẳn tác giả không biết tính đạo hàm mà là nói đến tập xác định của hai hàm là khác nhau.
Định nghĩa lại như @chanhquocnghiem đã làm là một giải pháp hợp lý.
Lâu nay ta vẫn sử dụng $(-1)^n$ để chỉ dấu phụ thuộc tính chẵn lẻ của $n$, mặc dù có định nghĩa cẩn thận đâu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 03-04-2023 - 16:07


#12
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Vấn đề không hẳn tác giả không biết tính đạo hàm mà là nói đến tập xác định của hai hàm là khác nhau.

Dạ cũng có thể anh, bởi vậy ở mấy bài viết trước em không hề nhắc tới việc nên giải thế nào, vì câu hỏi gốc không tập trung vào chuyện đó. Nhưng nhân tiện @nmlinh16 đưa ra lời giải thì em cũng đưa thêm một hướng giải khác để bổ sung.

 

Tuy nói 'câu hỏi gốc không tập trung vào lời giải', nhưng thực ra thì việc có lời giải chặt chẽ là rất liên quan đến câu hỏi ban đầu. Bởi vì nếu không biết được tập xác định (hay chính xác hơn là định nghĩa) thì sẽ dẫn đến giải không chặt chẽ, như ở bài viết đầu tiên của @Thegooobs.

 

Định nghĩa lại như @chanhquocnghiem đã làm là một giải pháp hợp lý.
Lâu nay ta vẫn sử dụng $(-1)^n$ để chỉ dấu phụ thuộc tính chẵn lẻ của $n$, mặc dù có định nghĩa cẩn thận đâu!

$(-1)^n$ nó là $n$ số $-1$ nhân với nhau, được định nghĩa cẩn thận rõ ràng trong SGK rồi anh Thanh à :P 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#13
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Giờ mới có chút thời gian để giải thích thêm tại sao câu hỏi của @Thegooobs lại rất hay, và tại sao lại có sự khác nhau giữa $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ và $x^{\frac{-2}{3}}$, và tại sao $x^{\alpha}$ với $\alpha$ không nguyên chỉ được định nghĩa (trong SGK) cho $x > 0$.

 

Tất nhiên là muốn trả lời những câu hỏi ở trên thì ta cần có định nghĩa của khá nhiều khái niệm: căn thức, luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ thực. Ta cần bắt đầu với luỹ thừa với số mũ nguyên.

Định nghĩa
Với số thực $a$ bất kì và số nguyên dương $n$, ta định nghĩa luỹ thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số $a$ và kí hiệu nó là $a^n$. Nghĩa là $$a^n = \underbrace{a\times a \times \dots \times a}_{n \text{ lần}}.$$

Nếu $a\neq 0$ thì ta định nghĩa $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, còn $0^0$ không xác định. Trong định nghĩa này, $a$ được gọi là cơ số và $n$ được gọi là số mũ.

 

Từ định nghĩa trên, ta sẽ có những tính chất quan trọng sau.

Định lý
Với hai số thực $a,b$ khác $0$ và số nguyên $n$ bất kì, ta có:

\begin{align*}
a^{m+n} &= a^m\times a^n\\
a^{m\times n} &= (a^m)^n\\
(a\times b)^n &= a^n \times b^n.
\end{align*}

 

Ở trên thay vì "khác $0$", có thể thay bằng "bất kì (sao cho không có đại lượng nào có dạng $0^0$ ở bên dưới)". Việc nêu ra những tính chất này ở đây không phải là thừa thãi đâu mà có lí do cả (nhá hàng: hãy để ý là Nesbit không ghi "Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên" ở tên của định lý).

 

Tiếp theo, để định nghĩa được luỹ thừa với số mũ hữu tỉ, ta sẽ định nghĩa căn thức trước.

Định nghĩa
Với số thực $a$ bất kì và số nguyên dương $n$, ta định nghĩa căn bậc $n$ của $a$ là số thực $b$ sao cho $b^n = a$. Nếu $n$ lẻ thì $b$ luôn tồn tại duy nhất và ta kí hiệu $b=\sqrt[n]{a}$. Trong trường hợp $n$ chẵn:

  • Nếu $a < 0$ thì $b$ không tồn tại.
  • Nếu $a=0$ thì $b=0$.
  • Nếu $a > 0$ thì có hai số $b$ thoả mãn, trong đó một số âm và một số dương.

Ở trường hợp $n$ chẵn, nếu $b$ tồn tại và không âm thì ta kí hiệu $b=\sqrt[n]{a}$.

Định nghĩa này khá cầu kì, nhưng không biết nên làm sao cho đơn giản hơn mà vẫn chặt chẽ. Thực ra trong định nghĩa có nhiều thứ là "định lý" mới đúng (ví dụ chứng minh tồn tại), nhưng thôi bước này tạm thời bỏ qua.

 

Bây giờ ta đã có thể định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ.

Định nghĩa
Với số thực dương $a$ bất kì và số hữu tỉ bất kì $q=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n$ nguyên và $n > 0$, ta định nghĩa luỹ thừa bậc $q$ của $a$, kí hiệu $a^q$, như sau: $$a^q = \sqrt[n]{a^m}.$$

 

Bây giờ đến câu hỏi quan trọng nhất: Tại sao ở trên chỉ định nghĩa cho cơ số dương mà thôi?

 

Có thể đưa ra nhiều câu trả lời khác nhau, nhưng thuyết phục nhất thì có lẽ là để giữ được những tính chất để có thể tính toán như luỹ thừa với số mũ nguyên, ví dụ như những tính chất trong Theorem. Ít nhất với chương trình phổ thông thì như vậy, vì luỹ thừa cho cơ số thực bất kì thực ra là cũng có định nghĩa đàng hoàng ở chương trình Toán đại học.

 

Cụ thể hơn, hãy xét một vài ví dụ sau đây, với giả sử rằng ta có thể định nghĩa luỹ thừa với cơ số thực bất kì và những tính chất trong Theorem đều giữ nguyên được.

Ví dụ
Ta có $-1 = \sqrt[3]{(-1)^1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = 1.$

(Ở trên nên ghi là "Phản ví dụ" thay vì "Ví dụ", nhưng chưa có môi trường phản ví dụ nên đành chịu, sau này sẽ thêm vào.) Trong ví dụ này thì ta chỉ dùng định nghĩa, nhưng nếu định nghĩa không đúng thì cũng sẽ dẫn đến nghịch lý. Đọc ví dụ này các bạn có thể thấy là tại sao thầy @chanhquocnghiem lại phải thêm điều kiện "phân số tối giản" khi bổ sung định nghĩa cho luỹ thừa với cơ số thực và số mũ thực. Có lẽ bạn sẽ hỏi ngay rằng: Vậy chỉ cần định nghĩa lại như thầy @chanhquocnghiem là xong chứ gì? Hãy xem tiếp ví dụ bên dưới.

Ví dụ
Ta có $-1 = (-1)^{2\times\frac{1}{2}} = \left[(-1)^2\right]^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} =1.$

Như vậy thì ở đây, tính chất $a^{pq} = (a^p)^q$ cũng đưa đến một nghịch lý.

 

Có thể tìm được vô vàn những ví dụ như ở trên. 

 

Tóm lại là, để cho những tính chất Toán học cơ bản của luỹ thừa được đảm bảo thì tốt nhất là chỉ nên định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (hoặc số mũ thực) cho cơ số dương mà thôi. Tuy ta hoàn toàn có thể đưa ra định nghĩa bất kì cho những trường hợp còn lại (vì về mặt Toán học thì không ai cấm), ví dụ $a^q = 0$ nếu $a \le 0$, nhưng làm như vậy có vẻ là chẳng được ích lợi gì cả. 

 

Bài viết có chỗ nào chưa đúng xin nhờ anh em góp ý giúp với nhé.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 03-04-2023 - 21:11
Viết tiếp sau khi ăn trưa

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#14
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

À ở trên chỉ dừng ở số mũ hữu tỉ vì đã đạt được nội dung cần truyền tải, nhưng để cho đầy đủ thì chắc cũng nên nhắc thêm về số mũ thực. Mất thời gian quá nên thôi :D 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#15
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Vậy mới nói là “không thể” (thực ra là có thể làm theo cách @nmlinh16 ) dùng quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa cho hàm căn thức (bậc lẻ) được. Vì tập xác định của chúng khác nhau!
—-
P/s: @Nesbit làm sao mà @ một vài ký tự là phải gợi ý thành viên để chọn mới tiện Khuê ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 03-04-2023 - 20:23


#16
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Vậy mới nói là “không thể” (thực ra là có thể làm theo cách @nmlinh16 ) dùng quy tắc đạo hàm của hàm luỹ thừa cho hàm căn thức (bậc lẻ) được. Vì tập xác định của chúng khác nhau!

Em nghĩ vậy anh Thanh ạ, vì thế nên lời giải ở đầu chủ đề là không chặt chẽ (@Thegooobs nhìn được như vậy để đặt câu hỏi cũng là rất đáng khen đấy). Mà không cần biết bậc lẻ hay chẵn, cứ viết $x^q$ với $q$ không phải số nguyên thì đã bắt buộc phải có điều kiện $x > 0$ rồi (nó cũng giống như khi viết $\sqrt{x}$ thì phải có $x\ge 0$, tất nhiên ta không bàn đến số phức ở đây), vì theo định nghĩa nó là như vậy.

Bàn thêm một chút về việc tính đạo hàm của $\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}$. Có thể dùng cách xét dấu như @nmlinh16 ở trên, hoặc cũng có thể đặt $y=\frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}$, suy ra $y^n = \frac{1}{x^m}$, sau đó lấy đạo hàm hai vế là được.

P/s: @Nesbit làm sao mà @ một vài ký tự là phải gợi ý thành viên để chọn mới tiện Khuê ạ

Dạ đúng là hiện tại hơi bất tiện chỗ này, nhưng chức năng này hơi phức tạp phải chờ nâng cấp hẳn luôn thì mới có được anh Thanh ạ. Đợt vừa rồi gọi là "nâng cấp" nhưng thực ra vẫn là phiên bản phần mềm như cũ, em gắng làm dùng tạm để tổ chức lại diễn đàn trước rồi chờ ít tháng nữa lúc @perfectstrong học việc xong sẽ tiến hành nâng cấp luôn anh ạ. Anh em mình bàn riêng kế hoạch này nhé anh, em đã chuẩn bị xong định cuối tuần đăng bài mà lại bận việc :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 04-04-2023 - 03:56
Bỏ đoạn tính chẵn lẻ. Viết lúc đang vội nên chém bậy.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh