Cho hai số thực $x \ne y\ne0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{3}{xy} = 1$
Tính giá trị biểu thức $A = (xy+1) - (x+y)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 01-04-2023 - 17:51
Cho hai số thực $x \ne y\ne0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{3}{xy} = 1$
Tính giá trị biểu thức $A = (xy+1) - (x+y)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 01-04-2023 - 17:51
Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$. Ta có $a^3+b^3+3ab=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)-1-3ab(a+b)+3ab=0$
$\Leftrightarrow (a+b)^3-1-3ab(a+b-1)=0\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2+2ab+b^2+a+b+1)-3ab(a+b-1)=0$
$\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2-ab+b^2+a+b+1)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} a+b=1\\ a^2-ab+b^2+a+b+1=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ (a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a=b=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\\ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=xy\\ x=y=-1 (L) \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x+y=xy$
Khi đó $A=1$.
Vậy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 06-04-2023 - 23:21
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$. Ta có $a^3+b^3+3ab=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)-1-3ab(a+b)+3ab=0$
$\Leftrightarrow (a+b)^3-1-3ab(a+b-1)=0\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2+2ab+b^2+a+b+1)-3ab(a+b-1)=0$
$\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2-ab+b^2+a+b+1)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} a+b=1\\ a^2-ab+b^2+a+b+1=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ (a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a=b=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\\ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=xy\\ x=y=-1 \end{matrix}\right.$
Với $x=y=-1$ thì $A=4$, với $x+y=xy$ thì $A=1$.
Vậy...
Mình nghĩ là với $x \ne y$ thì trường hợp $x=y=-1$ không thỏa mãn
Cho hai số thực $x \ne y\ne0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{3}{xy} = 1$
Tính giá trị biểu thức $A = (xy+1) - (x+y)$
Mình có lời giải khác Leonguyen, nhưng tự thấy không hay cho lắm.
Nhân $x^3y^3$ vào cả hai vế phương trình $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{3}{xy}=1$ ta được $x^3+y^3+3x^2y^2=x^3y^3$.
Để ý rằng $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$, từ phương trình trên ta suy ra
$(x+y)^3-x^3y^3+3x^2y^2-3xy(x+y)=0$.
Áp dụng hằng đẳng thức ta có $(x+y)^3-x^3y^3=(x+y-xy)[(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2]$ và để ý $3x^2y^2-3xy(x+y)=-3xy(x+y-xy)$ bằng cách rút nhân tử chung $x+y-xy$ ta suy ra
$(x+y-xy).[(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2-3xy]=0$ $(1)$
Xét phương trình
$(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2-3xy=0$
$\Leftrightarrow (y^2+y+1)x^2+(y^2-y)x+y^2=0$ $(2)$
Ta coi phương trình trên là phương trình ẩn $x$ và tham số $y$ thì
$\Delta=(y^2-y)^2-4y^2(y^2+y+1)=-3y^2(y+1)^2$
Nếu $y=-1$ thì ta suy ra ngay $x=y=-1$ trái với giả thiết. Như vậy $y\neq 0$ và $y \neq -1$, dẫn tới $\Delta <0$. Vậy phương trình (2) vô nghiệm, hay nói cách khác
$(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2-3xy \neq 0$
Từ phương trình $(1)$ ta suy ra $x+y-xy=0$. Do đó $A=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 10-04-2023 - 02:21
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh