Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số thực $x \ne y\ne0$ t/m $\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{3}{xy} = 1$ Tính giá trị$A = (xy+1) - (x+y)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Cho hai số thực $x \ne y\ne0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{3}{xy} = 1$

Tính giá trị biểu thức $A = (xy+1) - (x+y)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 01-04-2023 - 17:51


#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$. Ta có $a^3+b^3+3ab=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)-1-3ab(a+b)+3ab=0$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-1-3ab(a+b-1)=0\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2+2ab+b^2+a+b+1)-3ab(a+b-1)=0$

$\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2-ab+b^2+a+b+1)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} a+b=1\\ a^2-ab+b^2+a+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ (a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a=b=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\\ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=xy\\ x=y=-1 (L) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x+y=xy$

Khi đó $A=1$.

Vậy ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 06-04-2023 - 23:21

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$. Ta có $a^3+b^3+3ab=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)-1-3ab(a+b)+3ab=0$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-1-3ab(a+b-1)=0\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2+2ab+b^2+a+b+1)-3ab(a+b-1)=0$

$\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2-ab+b^2+a+b+1)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} a+b=1\\ a^2-ab+b^2+a+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ (a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a=b=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\\ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=xy\\ x=y=-1 \end{matrix}\right.$

Với $x=y=-1$ thì $A=4$, với $x+y=xy$ thì $A=1$.

Vậy...

Mình nghĩ là với $x \ne y$ thì trường hợp $x=y=-1$ không thỏa mãn :)



#4
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Cho hai số thực $x \ne y\ne0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{3}{xy} = 1$

Tính giá trị biểu thức $A = (xy+1) - (x+y)$

Mình có lời giải khác Leonguyen, nhưng tự thấy không hay cho lắm. 

 

Nhân $x^3y^3$ vào cả hai vế phương trình $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{3}{xy}=1$ ta được $x^3+y^3+3x^2y^2=x^3y^3$. 

Để ý rằng $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$, từ phương trình trên ta suy ra

$(x+y)^3-x^3y^3+3x^2y^2-3xy(x+y)=0$. 

Áp dụng hằng đẳng thức ta có $(x+y)^3-x^3y^3=(x+y-xy)[(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2]$ và để ý $3x^2y^2-3xy(x+y)=-3xy(x+y-xy)$ bằng cách rút nhân tử chung $x+y-xy$ ta suy ra

$(x+y-xy).[(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2-3xy]=0$    $(1)$

Xét phương trình 

$(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2-3xy=0$

$\Leftrightarrow (y^2+y+1)x^2+(y^2-y)x+y^2=0$    $(2)$

Ta coi phương trình trên là phương trình ẩn $x$ và tham số $y$ thì 

$\Delta=(y^2-y)^2-4y^2(y^2+y+1)=-3y^2(y+1)^2$

Nếu $y=-1$ thì ta suy ra ngay $x=y=-1$ trái với giả thiết. Như vậy $y\neq 0$ và $y \neq -1$, dẫn tới $\Delta <0$. Vậy phương trình (2) vô nghiệm, hay nói cách khác 

$(x+y)^2+xy(x+y)+x^2y^2-3xy \neq 0$

Từ phương trình $(1)$ ta suy ra $x+y-xy=0$. Do đó $A=1$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 10-04-2023 - 02:21

"Hap$\pi$ness is only real when shared."




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh