Chủ đề này có 1 trả lời

[Matthew James]

Với $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$, chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 01-04-2023 - 20:24

[Matthew James]

Cần chứng minh $\sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

$\frac{cd+da+bc+ab}{abcd}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

$\Leftrightarrow (a+c)(b+d)\geq (a^2+c^2)abcd+(b^2+d^2)abcd$

$2VP=2ac(a^2+c^2)+2bd(b^2+d^2)\leq (\frac{2ac+a^2+c^2}{2})^2.bd+(\frac{2bd+b^2+d^2}{2})^2.ac\leq \frac{1}{4}(a+c)^4.\frac{(b+d)^2}{4}+\frac{1}{4}(b+d)^4.\frac{(a+c)^2}{4}$

$=\frac{1}{32}(a+c)(b+d)2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]$

$\leq \frac{1}{32}(a+c)(b+d).(\frac{2(a+c)(b+d)+(a+c)^2+(b+d)^2}{2})^2=2(a+c)(b+d)=2VT$

Suy ra điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$