Đến nội dung

Hình ảnh

Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Bài không khó nhưng hệ số tìm được làm một số quan trọng và xuất hiện trong nhiều bài toán đếm khác nhau.  :D


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#3
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$

Khai triển chuỗi của $\sqrt{1-4x}=(1-4x)^{1/2}$ (hoặc sử dụng công thức Newton) là 

$$\sqrt{1-4x}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k-1}\binom{1/2}{k}(4x)^{k}.$$

Do đó hệ số của $x^{n}$ là $(-1)^{n}\frac{1}{2}\binom{1/2}{n+1}4^{n+1}=(-1)^{n}2^{2n+1}\binom{1/2}{n+1}$. Viết đầy đủ ra thì có lẽ hệ số sẽ có dạng $\pm \dfrac{1.3.5.7\dots}{2.4.6.8\dots}.2^{2n}$. 


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$

Xét hàm $f(x)=1-\sqrt{1-4x}=1-(1-4x)^{\frac{1}{2}}\Rightarrow f(0)=0$.

$f'(x)=2(1-4x)^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow f'(0)=2$

$f''(x)=2^2.1.(1-4x)^{-\frac{3}{2}}\Rightarrow f''(0)=2^2.1$

$f'''(x)=2^3.1.3.(1-4x)^{-\frac{5}{2}}\Rightarrow f'''(0)=2^3.1.3$

..........................................................

$f^{(n)}(x)=2^n.1.3.5...(2n-3)(1-4x)^{-\frac{2n-1}{2}}\Rightarrow f^{(n)}(0)=2^n.1.3.5...(2n-3)$

$\Rightarrow \left [ x^n \right ]f(x)=\frac{2^n.1.3.5...(2n-3)}{n!}$

$\Rightarrow \left [ x^n \right ]\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\frac{1}{2}\left [ x^{n+1} \right ]f(x)=\frac{2^n.1.3.5...(2n-1)}{(n+1)!}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-04-2023 - 23:14

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Đúng là M.@nmlinh16 tinh mắt quá: hệ số đó là một Number khá nổi tiếng, không dám nói là hoa hậu nhưng cũng là một trong những hoa khôi giúp giải quyết một số bài toán đếm. Cho nên dáng dấp em ấy cũng khá là thướt tha, gọn gàng . Các thầy, các anh hãy tạo dáng kết quả của mình sao cho đẹp, gọn gàng như hoa khôi ấy!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#6
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Nói thẳng ra là Catalan number cho đỡ hồi hộp!
$C_n=\frac{1}{n+1}{2n\choose n}$

#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Tạo dáng cho hoa khôi ấy à. Ừ, để thử xem.

Đầu tiên là "làm đẹp" phần trên :

$\frac{2^n.1.3.5...(2n-1)}{(n+1)!}=\frac{2^n.(2n)!}{(n+1)!.2.4.6...2n}$

Tiếp theo là tút lại phần dưới rồi "giảm béo toàn thân" :

$\frac{2^n.(2n)!}{(n+1)!.2.4.6...2n}=\frac{2^n.(2n)!}{n!(n+1)!.2^n}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=$

$=\frac{P_{2n}^n}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$

Chưa biết như vậy đã chuẩn chưa, nhưng giống kết quả của thầy Thanh rồi, mừng quá !

Coi như quá trình "làm đẹp" thành công (bố mẹ nhìn hổng ra luôn) :D


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
@hxthanh: phàm ở đời, cái gì úp úp mở mở, nửa kín nửa hở ...thì hấp dẫn hơn! Đúng không thầy?
- Căn cứ vào kết quả cuộc mông má tỉ mỉ, Hiệp hội phẫu thuật thẩm mỹ Hoa Kỳ quyết định trao danh hiệu cao quý " Thiên hạ đệ nhất dao kéo" cho bác sĩ phù thủy @chanhquocnghiem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 03-04-2023 - 07:26

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#9
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

@hxthanh: phàm ở đời, cái gì úp úp mở mở, nửa kín nửa hở ...thì hấp dẫn hơn! Đúng không thầy?
- Căn cứ vào kết quả cuộc mông má tỉ mỉ, Hiệp hội phẫu thuật thẩm mỹ Hoa Kỳ quyết định trao danh hiệu cao quý " Thiên hạ đệ nhất dao kéo" cho bác sĩ phù thủy @chanhquocnghiem

Chà chà, mình còn chưa có bằng bác sĩ thẩm mỹ nữa. Nghe "người ta" xúi thì làm đại thôi. May là chưa gây ra hậu quả gì. Cái danh hiệu cao quý đó, mỗ tôi quyết không dám nhận !
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#10
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Vẫn còn một câu hỏi khá thú vị đấy: Làm sao để ra thẳng luôn được body như hoa khôi mà khỏi phải tút tát gì cả? :D

Tuy giải đã trao cho người xứng đáng rồi, nhưng mà xử lí được câu này thì cũng có thể ăn được cái giải phụ chứ nhỉ :P 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh