Đến nội dung

Hình ảnh

Tính tổng $S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{n}{n-k} {n-k\choose k}$

- - - - - summation đtth

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Bài toán
Với $n$ nguyên dương, tính tổng sau:
$S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{n}{n-k} {n-k\choose k}$


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Bài toán
Với $n$ nguyên dương, tính tổng sau:
$S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{n}{n-k} {n-k\choose k}$

Trước tiên nhắc lại hai kết quả liên quan đến hàm sinh như sau:

  • Với $k$ là số tự nhiên thì $\frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^n$,
  • $\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}F(k,n)x^n=\sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}F(k,n)x^n$.

Giờ bắt đầu xử lí bài toán, xét hàm sinh $A(x)=\sum_{n\ge 0}S_nx^n$, ta có

$$\begin{align*}A(x)=\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}\left(\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k-1} \right )x^n=\underbrace{\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}\binom{n-k}{k}x^n}_{B(x)}+\underbrace{\sum_{n\ge 0}\sum_{k\ge 0}\binom{n-k-2}{k}x^n}_{C(x)}.\end{align*}$$

Tiếp đến ta biến đổi $B(x)$ như sau

$$\begin{align*}B(x)&=\sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n-k}{k}x^n= \sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^{n+2k}=\sum_{k\ge 0}x^{2k}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^n\\ &=\sum_{k\ge 0}x^{2k}\cdot \frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\frac{1}{1-x}\sum_{k\ge 0}\left(\frac{x^2}{1-x} \right )^k=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-\frac{x^2}{1-x}}=\frac{1}{1-x-x^2}.\end{align*}$$

$C(x)$ thì hoàn toàn tương tự

$$\begin{align*}C(x)&=\sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n-k-2}{k}x^n= \sum_{k\ge 0}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^{n+2k+2}=\sum_{k\ge 0}x^{2k+2}\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}{k}x^n\\ &=\sum_{k\ge 0}x^{2k+2}\cdot \frac{1}{(1-x)^{k+1}}=\frac{x^2}{1-x}\sum_{k\ge 0}\left(\frac{x^2}{1-x} \right )^k=\frac{x^2}{1-x}\cdot\frac{1}{1-\frac{x^2}{1-x}}=\frac{x^2}{1-x-x^2}.\end{align*}$$

Do vậy $A(x)=\frac{1+x^2}{1-x-x^2}$. Mặt khác ta biết rằng hàm sinh bởi dãy Lucas là $\sum_{n\ge 0}L_nx^n=\frac{2-x}{1-x-x^2}.$ Dẫn đến

\[A(x)=-1+\frac{2-x}{1-x-x^2}=-1+\sum_{n\ge 0}L_nx^n=1+\sum_{n\ge 1}L_nx^n.\]

 

 

Ghi chú. Tài liệu tham khảo về phương pháp này có Chuyên đề Đẳng thức tổ hợp của diễn đàn ta, hoặc Summation của Evan Chen.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-09-2023 - 17:47

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: summation, đtth

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh