Chủ đề này có 3 trả lời

[kograysus]

Cho $\Delta ABC$  nhọn có hai đường cao $BE,CF$. Gọi $(\omega )$ là đường tròn ngoại tiếp $AEF$, $M$ là trung điểm $BC$. Qua $M$ vẽ cát tuyến $MPQ$ với $(\omega )$, . CMR trực tâm $\Delta APQ$ luôn nằm trên đường tròn cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kograysus: 05-04-2023 - 21:41

[thanhng2k7]

Điểm $Q$ ? 

[kograysus]

mình sửa lại rồi bạn nhé

 

Điểm $Q$ ? 

[HaiDangPham]

Lời giải. Kẻ đường kính AD của đường tròn (O) và gọi M là trung điểm BC. Khi đó  M là trung điểm HD. 

 

Tiếp theo, ta thấy rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chính là đường tròn đường kính AH. Vì P, Q thuộc đường tròn này nên $AP \bot HP$ và $AQ \bot HQ$. Kết hợp với giả thiết X là trực tâm giác APQ ta suy ra $HP \parallel XQ$ và $HQ \parallel XP.$ Do đó tứ giác HQXP là hình bình hành. Gọi N là giao điểm hai đường chéo tứ giác này, ta có N là trung điểm HX. 

 

Tam giác HXD có M là trung điểm HD, N là trung điểm HX nên MN là đường trung bình. Do đó $MN \parallel DX.$ Mà $MN \bot AX$ nên $DX \bot AX$. Vậy trực tâm X của tam giác APQ luôn di động trên đường tròn (O) cố định. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-04-2023 - 21:53