Đến nội dung

Hình ảnh

$\displaystyle \begin{cases} x^{2}+y^{2}+3\sqrt{1-x^{2}}=1-3y \\ 2x\sqrt{x+2} +(x+1-y)\sqrt{3+2y}=0 \end{cases}$

- - - - -

Lời giải Sangnguyen3, 06-04-2023 - 22:59

Mình vừa nghĩ 1 cách khác, có lẽ cách này đơn giản hơn 1 tí 
Từ phương trình (1), ta có : $y=-\sqrt{1-x^2}$

Thế vào pt(2), ta được : 

$\sqrt{x+1}\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} \right )\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=-2x\sqrt{x+2}$

Xét trường hợp $x+1=1-x \Rightarrow x=0 (KTM)$

Xét trường hợp $x+1\neq 1-x \Leftrightarrow x\neq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}.\frac{2x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}.\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=-2x\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}.\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=\left ( \sqrt{1-x} -\sqrt{1+x}\right )\sqrt{x+2}$

Đặt $a=\sqrt{x+1}\geq 0,b=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\geq 0$

Phương trình trở thành : $a\sqrt{b^{2}+1}=b\sqrt{a^{2}+1} \Leftrightarrow a^{2}=b^{2} \Leftrightarrow a=b$

Giải ra tìm được $x=-\frac{3}{5};y=-\frac{4}{5}$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 

$\displaystyle \begin{cases} x^{2}+y^{2}+3\sqrt{1-x^{2}}=1-3y \\ 2x\sqrt{x+2} +(x+1-y)\sqrt{3+2y}=0 \end{cases}$



#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

 $\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x^{2}+y^{2}+3\sqrt{1-x^{2}}=1-3y(1) \\ 2x\sqrt{x+2} +(x+1-y)\sqrt{3+2y}=0(2) \end{cases}$

Từ $(1)$ biến đổi ta được $(2\sqrt{1-x^2}-3)^2=(2y+3)^2\Rightarrow ....$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 05-04-2023 - 22:58

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#3
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

 $\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x^{2}+y^{2}+3\sqrt{1-x^{2}}=1-3y(1) \\ 2x\sqrt{x+2} +(x+1-y)\sqrt{3+2y}=0(2) \end{cases}$

Từ $(1)$ biến đổi ta được $(2\sqrt{1-x^2}-3)^2=(2y+3)^2\Rightarrow ....

Cụ thể ở pt (2) đi bạn mình cx ra nhân tử ở pt (1) nhưng chưa tìm đc cách giải quyết ở pt 2



#4
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Mình nghĩ là biến đổi tương đương pt(2) , áp dụng cho $2\sqrt{1-x^2}=-2y\Rightarrow x^2+y^2=1$

$4x^2(x+2)=(3+2y)(x^2+2x-2xy-2y+y^2+1)$

$\Leftrightarrow 4x^3+8x^2=(3+2y)(2+2x-2xy-2y)\Rightarrow 2x^2(x+1)=(3+2y)(1+x)(1-y)\Rightarrow ...$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 05-04-2023 - 23:11

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#5
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Trường hợp còn lại , chắc là thế vào pt(2) rồi bình phương chứ mình cũng chưa nghĩ ra cách nào khác =)) 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#6
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Ở trường hợp (2) , $y+3=\sqrt{1-x^{2}}$

Vì $y\geq -\frac{3}{2} \Rightarrow y+3\geq \frac{3}{2}> 1$

$\sqrt{1-x^{2}}\leq 1$

nên trường hợp này sai 



#7
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
✓  Lời giải

Mình vừa nghĩ 1 cách khác, có lẽ cách này đơn giản hơn 1 tí 
Từ phương trình (1), ta có : $y=-\sqrt{1-x^2}$

Thế vào pt(2), ta được : 

$\sqrt{x+1}\left ( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} \right )\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=-2x\sqrt{x+2}$

Xét trường hợp $x+1=1-x \Rightarrow x=0 (KTM)$

Xét trường hợp $x+1\neq 1-x \Leftrightarrow x\neq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}.\frac{2x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}.\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=-2x\sqrt{x+2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}.\sqrt{3-2\sqrt{1-x^{2}}}=\left ( \sqrt{1-x} -\sqrt{1+x}\right )\sqrt{x+2}$

Đặt $a=\sqrt{x+1}\geq 0,b=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\geq 0$

Phương trình trở thành : $a\sqrt{b^{2}+1}=b\sqrt{a^{2}+1} \Leftrightarrow a^{2}=b^{2} \Leftrightarrow a=b$

Giải ra tìm được $x=-\frac{3}{5};y=-\frac{4}{5}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh