Chủ đề này có 2 trả lời

[Sangnguyen3]

Cho đa thức $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên . Chứng minh rằng nếu $P(Q(1)).P(Q(2)).P(Q(3))....P(Q(23))$ không chia hết cho 23 với $Q(x)=x^{3}-1$ thì P(x) không có nghiệm nguyên

[Moon Loves Math]

Trước tiên, ta có nhận xét sau: 

Định lý

Cho $f(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên. Nếu như tồn tại một số nguyên $n$ với một hệ thặng dư đầy đủ mod $n \ (x_1, x_2, \dots , x_n)$ sao cho $f(x_i) \not\equiv 0 \ (mod \ n) \ \forall i$, thì phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm nguyên.

Chứng minh

Xét đa thức $f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+ \dots + a_1x_1 + a_0 \quad (a_m \not=0).$

Với số nguyên $k$ bất kỳ, thì

$$\begin{align} f(x_i+km)&=a_m(x_i+km)^m+a_{m-1}(x_i+km)^{m-1}+ \dots +a_1(x_i+km)+a_0\\ &\equiv a_m(x_i)^m+a_{m-1}(x_i)^{m-1} + \dots + a_1x_1 +a_0 \ (mod \ n)\\ &\not\equiv 0 \ (mod \ n) \ \forall \ i \end{align}$$

Hay với mọi số nguyên $x$ thì $f(x) \not\equiv 0 \ (mod \ n).$

Nên phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.

Trở lại với bài toán, ta sẽ đi chứng minh $(Q(1), Q(2), \dots , Q(23))$ là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 23.

Thật vậy, giả sử điều ngược lại: Tồn tại 2 chỉ số $i$ và $j$ sao cho $1 \leq i < j \leq 23$ và $Q(i) \equiv Q(j) \ (mod \ 23)$

Khi đó: $$\begin{align} 0 &\equiv Q(i)-Q(j) \ (mod \ 23) \\ &=i^3-j^3 \ (mod \ 23) \\ &=(i-j)(i^2+ij+j^2) \ (mod \ 23) \end{align}$$

Do $i \not\equiv j \ (mod \ 23)$ nên suy ra $i^2+ij+j^2 \equiv \ 0 \ (mod \ 23)$.

Hay $(2i+j)^2 \equiv -3j^2 \ (mod \ 23)$.

Suy ra $-3$ là một số chính phương modulo 23.

Điều này là không đúng do:

$\begin{align} \left ( \frac{-3}{23} \right )&=\left ( \frac{-1}{23} \right )\left ( \frac{3}{23} \right )=(-1)^{\frac{23-1}{2}}(-1)^{\frac{3-1}{2}\frac{23-1}{2}}\left ( \frac{23}{3} \right ) \\ &=(-1)(-1)\left ( \frac{-1}{3} \right )=-1 \end{align}$

Vậy, điều ta giả sử là sai. 

Với $(Q(1), Q(2), \dots , Q(23))$ là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 23, áp dụng nhận xét ở trên cho ta ngay đpcm.

[Sangnguyen3]

Cách của mình : 
Giả sử đa thức $P(x)$ có nghiệm nguyên là $x_{0}$ 

$\Rightarrow P(x)=\left ( x-x_{0} \right ).G(x)$ với $G(x)$ là đa thức hệ số nguyên 

Khi đó : $P(Q(1))=\left ( Q(1)-x_{0} \right ).G\left ( Q(1) \right );...;P(Q(23))=\left ( Q(23)-x_{0} \right ).G\left ( Q(23) \right )$

Giả sử nếu có 1 trong 23 số $Q(1)-x_{0},...,Q(23)-x_{0}$ chia hết cho 23. Suy ra vế phải của tích đó chia hết cho 23 nhưng vế trái lại không 

=> Điều giả sử là sai => đpcm

Giả sử không có số nào trong 23 số $Q(1)-x_{0},...,Q(23)-x_{0}$ chia hết cho 23. 

Theo nguyên lí dirichlet, tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 23 , giả sử đó là : $Q(i)-x_{0},Q(j)-x_{0}$ với $1\leq i< j\leq 23$

$Q(i)-x_{0}\equiv Q(j)-x_{0} (mod 23)$ 

$\Rightarrow Q(i)\equiv Q(j) (mod 23) \Rightarrow i^{3}-1\equiv j^{3}-1 (mod23) \Rightarrow i^{3}\equiv j^{3} (mod 23)$

Nếu như có 1 trong 2 số $i,j \vdots 23$ thì số còn lại cũng sẽ chia hết cho 23. Suy ra vô lí do $1\leq i< j\leq 23$

$\Rightarrow \left ( i;23 \right )=\left ( j;23 \right )=1$

$i^{3}\equiv j^{3}(mod 23)\Rightarrow i^{21}\equiv j^{21}(mod 23)$

Theo định lí Fermat nhỏ , ta có : $i^{22}\equiv 1 (mod 23);j^{22}\equiv 1(mod 23)$ 

$\Rightarrow i^{22}\equiv j^{22}=j.j^{21}\equiv j.i^{21} (mod 23) \Rightarrow i^{21}\left ( j-i \right )\vdots 23$

Vì $(i^{21};23)=1$ 

$\Rightarrow j-i\vdots 23$

Mà ta lại có : $1\leq \left | j-i \right |\leq 22$

$\Rightarrow j-i\vdots 23$ ( vô lí)

Vậy là điều giả sử sai cho nên điều phải chứng minh