Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $\min-\max$ của $P=(a-2b+c)^2+(b-2c+d)^2+(b-2a)^2+(c-2d)^2$

bất đẳng thức cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Cho $\frac{1}{2} \leq a^2+b^2+c^2+d^2 \leq 2$. Tìm $\min-\max$ của

$P=(a-2b+c)^2+(b-2c+d)^2+(b-2a)^2+(c-2d)^2$


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#2
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

+) Cần chọn ra $p>0$ :

$(a-2b+c)^2=(\frac{a}{1}.1-\frac{b\sqrt{2}}{\sqrt{p}}.\sqrt{p}.\sqrt{2}+\frac{c}{\sqrt{p}}.\sqrt{p})^2\leq (1+2p+p)(a^2+\frac{2b^2}{p}+\frac{c^2}{p})$

$(b-2c+d)^2=(\frac{b}{\sqrt{p}}.\sqrt{p}+\frac{d}{1}.1-\frac{c\sqrt{2}}{\sqrt{p}}.\sqrt{p}.\sqrt{2})^2\leq (1+3p)(d^2+\frac{2c^2}{p}+\frac{b^2}{p})$

$(b-2a)^2=(\frac{b}{\sqrt{p}}.\sqrt{p}-\sqrt{2}.a\sqrt{2})\leq (\frac{b^2}{p}+2a^2)(2+p)$

$(c-2d)^2=(\frac{c}{\sqrt{p}}.\sqrt{p}-\sqrt{2}.d.\sqrt{2})^2\leq (\frac{c^2}{p}+2d^2)(2+p)$

Nên $P\leq (5+5p)(a^2+d^2)+(10+\frac{5}{p})(b^2+c^2)$

Do đó ta cần chọn $p$ sao cho $5+5p=10+\frac{5}{p}\Rightarrow p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow P\leq \frac{5(3+\sqrt{5})}{2}$

 

+)$P=5(a^2+d^2)+6(b^2+c^2)-8ab-8bc+2ac+2bd-8cd=5(a^2+d^2)+6(b^2+c^2)+2a(c-4b)+2d(b-4c)-8bc$

Chọn $p>0$ sao cho :

$2a(c-4b)\geq \frac{-1}{p}.(pa^2+(c-4b)^2)$

$2d(b-4c)\geq \frac{-1}{p}.(pd^2+(b-4c)^2)$

$\Rightarrow 2a(c-4b)+2d(b-4c)\geq -p(a^2+d^2)-\frac{1}{p}[(c-4b)^2+(b-4c)^2]=-p(a^2+d^2)-\frac{1}{p}[17c^2+17b^2-16bc]$

$\Rightarrow P\geq (5-p)(a^2+d^2)+(6-\frac{17}{p})b^2+c^2+(\frac{16}{p}-8)bc$

Chọn $p$ để $(\frac{16}{p}-8)bc=2(\frac{8}{p}-4)<0$

Khi đó $(\frac{16}{p}-8)bc\geq (\frac{8}{p}-4)(b^2+c^2)$

$\Rightarrow P\geq (5-p)(a^2+d^2)+(6-\frac{17}{p})(b^2+c^2)+(\frac{8}{p}-4)(b^2+c^2)$

Hay chọn $p$ sao cho $5-p=6-\frac{17}{p}+\frac{8}{p}-4\Rightarrow p=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}\Rightarrow P\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{4}$

Vậy .... 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 15-04-2023 - 22:49

Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh