Đến nội dung

Hình ảnh

$A_n=\sum_{k=0}^n \lfloor \varphi^k\rfloor$

- - - - - golden-ratio floor

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Khi nghiên cứu về xấp xỉ các tổng phần nguyên mình “tình cờ” phát hiện ra một số bài toán thú vị về con số vàng $\varphi$
$\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}$
Sử dụng ký hiệu $A \simeq B$ để chỉ ra sự chênh lệch giữa $A$ và $B$ không quá $2$. Nghĩa là: $\left | A-B\right |\le 2$
Các bạn hãy chứng minh một số kết quả sau:
Mệnh đề
$\sum_{k=1}^n \left\lfloor k\varphi\right\rfloor \simeq \left\lfloor \frac{n(n+1)\varphi}{2}-\frac{n}{2}\right\rfloor$

Mệnh đề
$\sum_{k=1}^n \left\lfloor \frac{k}{\varphi}\right\rfloor \simeq \left\lfloor \frac{n^2}{2\varphi}-\frac{n}{\varphi^2}\right\rfloor$

Mệnh đề
$\sum_{k=0}^n \left\lfloor \varphi^k\right\rfloor \simeq \left\lfloor \frac{\varphi^{n+1}-1}{\varphi-1}-\frac{n}{2}\right\rfloor$

Mệnh đề
$\sum_{k=2}^n \left\lfloor k^\varphi \right\rfloor \simeq \left\lfloor \frac{n^{\varphi^2}}{\varphi^2}+\frac{n^\varphi-n}{2}\right\rfloor$

Mệnh đề
$\sum_{k=2}^n \left\lfloor k^{\frac{1}{\varphi}} \right\rfloor \simeq \left\lfloor \frac{n^\varphi}{\varphi}+\frac{n^{\varphi-1}-n}{2}\right\rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 11-04-2023 - 18:40


#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Theorem có một chút đặc biệt khi giá trị chính xác tìm được là
Mệnh đề
$\sum_{k=0}^n \left\lfloor\varphi^k\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{\varphi^{n+1}-1}{\varphi-1}-\dfrac{n-1+(-1)^n}{2}\right\rfloor,\; \forall n\ge 2$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: golden-ratio, floor

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh