Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm vị trí của điểm E trên cung BC để EB+EC đạt giá trị lớn nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

BÀI TOÁN: Cho đường tròn (O) có dây cung BC và E là điểm bất kì di chuyển trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Tìm vị trí của điểm E để $EB+EC$ đạt giá trị lớn nhất. 

 

Đây là ý cuối trong một bài hình lớp 9. Nó có thể tách ra để trở thành một bài toán độc lập. Tưởng dễ nhưng không. Ban đầu mình khá loay hoay khi tìm cách biểu diễn đại số tổng EB+EC nhưng không được. Cần phải vẽ thêm hình phụ để làm.

 

Hi vọng mọi người sẽ nghĩ ra cách làm đơn giản và đẹp! 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#2
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

mình nghĩ dùng ptolemy là ra

Hình gửi kèm

  • 11111111.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 10-04-2023 - 20:10

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

BÀI TOÁN: Cho đường tròn (O) có dây cung BC và E là điểm bất kì di chuyển trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Tìm vị trí của điểm E để $EB+EC$ đạt giá trị lớn nhất. 

 

Dang-Toan9-6Apr2023-1.jpg

Lời giải. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Trên tia EC lấy điểm E' và trên tia CM lấy điểm M' sao cho $EE'=EB$ và $MM'=MB.$ Tam giác EE'B cân tại E nên $\angle BEC=2 \angle BE'C$, tam giác BMM' cân tại M nên $\angle BMC=2 \angle BM'C$. Mà $\angle BEC = \angle BMC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên $\angle BE'C=\angle BM'C$. Do đó tứ giác BE'M'C nội tiếp. Ta lại có tam giác BCM' vuông tại B vì $MM'=MB=MC$. Do đó $\angle M'E'C=\angle MBC=90^{\circ}$. Vì tam giác M'CE' vuông tại E' nên $E'C <M'C$, hay $EB+EC<MB+MC.$ Vậy khi E di chuyển trên cung nhỏ BC ta luôn có $EB+EC \leq MB+MC.$ Nói cách khác giá trị lớn nhất của $EB+EC$ bằng $MB+MC$, đạt được khi E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 10-04-2023 - 21:44

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Nếu biết một chút về định lý sin và lượng giác thì:

\[EB + EC = 2R\left( {\sin B + \sin C} \right) = 2R\sin \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} \leqslant 2R\sin \frac{{B + C}}{2} = 2R\cos \frac{E}{2}\]

Dấu bằng xảy ra khi \[\cos \frac{{B - C}}{2} = 1 \Leftrightarrow \angle B = \angle C\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-04-2023 - 04:53

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Dấu bằng xảy ra khi ${\color{Red} \cos \frac{{B - C}}{2} = 0}$ $\Leftrightarrow \angle B = \angle C$

Ở đó phải là bằng 1 chứ anh


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Ở đó phải là bằng 1 chứ anh

Đúng rồi, cảm ơn em :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh