Chủ đề này có 3 trả lời

[hxthanh]

Chia tập các số nguyên dương thành hai dãy $(a_n)$ và $(b_n)$. Biết rằng:
$$\begin{cases}\begin{align}&a_1=1\label{e1}\\ &a_{n+1}>a_n,\;\forall n\ge 1\label{e3}\\&b_n=a_n+n;\;\forall n\ge 1\label{e2}\\ &(a_n)\cap (b_n)=\emptyset,\;\; (a_n)\cup(b_n)=\mathbb N^*\label{e4} \end{align}
\end{cases}$$
Tính $a_{2023}\;$?

[chuyenndu]

bài 2   Một số bài toán Số học, Tổ hợp - Hà Huy Khoái.PDF   541.54K   40 Số lần tải

[hxthanh]

Ok, theo đó ta biết được rằng
$a_n=\lfloor n\varphi\rfloor$ với $\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}$.

Bây giờ có bài toán mới cho các bạn đây:

Bài toán

Tìm tất cả các giá trị $n$ sao cho $a_{n+34}-a_n-55\ne 0$, sắp thứ tự được dãy $(c_n)$.
Tìm $c_n=?$

[hxthanh]

Ok, theo đó ta biết được rằng
$a_n=\lfloor n\varphi\rfloor$ với $\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}$.

Bây giờ có bài toán mới cho các bạn đây:

Bài toán

Tìm tất cả các giá trị $n$ sao cho $a_{n+34}-a_n-55\ne 0\qquad(*)$, sắp thứ tự được dãy $(c_n)$.
Tìm $c_n=?$

Để mọi người dễ hình dung, mình đưa ra luôn $(c_n)$
\begin{equation}\label{e5}c_n=\sum_{k=1}^n \left\lfloor 34\varphi^{a_k-a_{k-1}}\right\rfloor\quad (n=1,2,3,…)\end{equation}
Bạn hãy chứng minh \eqref{e5} là tất cả các “nghiệm” của $(*)$