1/ Một hộp chứa ba tấm thẻ, được đánh số 1, 2 và 3. Lần lượt các tấm thẻ được rút ra từ hộp. Tính xác suất để số thứ tự khi rút của ít nhất một tấm thẻ trùng với số của chính nó.(Tính trực tiếp, không dùng "số mất thứ tự ")
2/ Một khối gỗ hình lập phương được sơn xanh, sau đó cắt thành 27 hình lập phương nhỏ giống hệt nhau rồi được xáo trộn ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để lắp ráp các khối lập phương nhỏ thành một khối lập phương lớn mà bên ngoài của khối lập phương lớn này có màu xanh hoàn toàn là bao nhiêu?
1) Gọi $A$ là biến cố có ít nhất $1$ thẻ mà số thứ tự khi rút trùng với số của chính nó.
- Cách 1 :
$\left | \Omega \right |=3!=6$ ($\left \{ 1,2,3 \right \},\left \{ 1,3,2 \right \},\left \{ 2,1,3 \right \},\left \{ 2,3,1 \right \},\left \{ 3,1,2 \right \},\left \{ 3,2,1 \right \}$)
$\left | A \right |=4$ ($\left \{ 1,2,3 \right \},\left \{ 1,3,2 \right \},\left \{ 2,1,3 \right \},\left \{ 3,2,1 \right \}$)
$\Rightarrow P(A)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
- Cách 2 :
$n(A)=C_3^1.2!-C_3^2.1!+C_3^3.0!=4$
$\Rightarrow P(A)=\frac{4}{3!}=\frac{2}{3}$.
2) $27$ khối lập phương nhỏ gồm $1$ khối không sơn (tạm gọi là khối loại 0), $6$ khối sơn $1$ mặt (loại 1), $12$ khối sơn $2$ mặt (loại 2), $8$ khối sơn $3$ mặt (loại 3).
Giả sử người lắp ráp bị khiếm thị, không thể phân loại các khối lập phương. Ta thử tính xác suất người đó lắp ráp thành công.
a) Chia $27$ khối lập phương thành $4$ nhóm như trên. XS thành công bước này là $\frac{1}{C_{27}^1C_{26}^6C_{20}^8}$
b) Xếp khối lập phương của "nhóm 1" vào vị trí trung tâm : XS thành công là $1$.
c) Xếp $6$ khối lập phương của "nhóm 6" vào vị trí giữa $6$ mặt : XS thành công là $\left ( \frac{1}{6} \right )^6$
d) Xếp $12$ khối của "nhóm 12" vào vị trí giữa $12$ cạnh : XS thành công là $\left ( \frac{1}{12} \right )^{12}$
e) Xếp $8$ khối của "nhóm 8" vào $8$ góc : XS thành công là $\left ( \frac{1}{8} \right )^8$
Vậy XS lắp ráp thành công là $\frac{1}{6^68^812^{12}C_{27}^1C_{26}^6C_{20}^8}$.