Cho n nguyên dương. CMR $\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{n-k}k}{2k-1}C_n^kC_{n+k-1}^{k-1}=\frac{1-(-1)^n}{2}$
CMR $\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{n-k}k}{2k-1}C_n^kC_{n+k-1}^{k-1}=\frac{1-(-1)^n}{2}$
Bắt đầu bởi chuyenndu, 25-04-2023 - 18:55
#2
Đã gửi 27-04-2023 - 11:45
Xét $S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{n+k}k{n\choose k}{n+k-1\choose n}}{2k-1}$
Ta có:
$S_{n+1}= \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{(-1)^{n+1+k}k{n+1\choose k}{n+k\choose n+1}}{2k-1}=$
$=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{n+1+k}k{n+1\choose k}{n+k\choose n+1}}{2k-1} +{2n\choose n}$
Suy ra:
$S_n+S_{n+1}={2n\choose n}+\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{n+k}k\left[{n\choose k}{n+k-1\choose n}-{n+1\choose k}{n+k\choose n+1}\right]}{2k-1}$
\begin{align*}S_n+S_{n+1}&={2n\choose n}-\sum_{k=1}^n(-1)^{n+k}{n\choose k-1}{n+k-1\choose n}\\
&= -\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{n+k}{n\choose k-1}{n+k-1\choose n}\\
&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}{n\choose k}{n+k\choose n}\\
&=(-1)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{n+k\choose n}=(-1)^nA_n\end{align*}
“Dễ thấy” $A_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}{n+k\choose n}=(-1)^n$
Vậy $S_{n+1}+S_n=1$. Lại có $S_1=1$
Từ đây suy ra điều cần chứng minh.
——
Cái phần “dễ thấy”, nghĩa là chỗ $A_n=(-1)^n$ xin phép “nhường” các bạn chứng minh.
Ta có:
$S_{n+1}= \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{(-1)^{n+1+k}k{n+1\choose k}{n+k\choose n+1}}{2k-1}=$
$=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{n+1+k}k{n+1\choose k}{n+k\choose n+1}}{2k-1} +{2n\choose n}$
Suy ra:
$S_n+S_{n+1}={2n\choose n}+\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{n+k}k\left[{n\choose k}{n+k-1\choose n}-{n+1\choose k}{n+k\choose n+1}\right]}{2k-1}$
\begin{align*}S_n+S_{n+1}&={2n\choose n}-\sum_{k=1}^n(-1)^{n+k}{n\choose k-1}{n+k-1\choose n}\\
&= -\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{n+k}{n\choose k-1}{n+k-1\choose n}\\
&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n+k}{n\choose k}{n+k\choose n}\\
&=(-1)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}{n+k\choose n}=(-1)^nA_n\end{align*}
“Dễ thấy” $A_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}{n+k\choose n}=(-1)^n$
Vậy $S_{n+1}+S_n=1$. Lại có $S_1=1$
Từ đây suy ra điều cần chứng minh.
——
Cái phần “dễ thấy”, nghĩa là chỗ $A_n=(-1)^n$ xin phép “nhường” các bạn chứng minh.
- perfectstrong và chuyenndu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh