Đến nội dung

Hình ảnh

$$f(x+1)+xf(x^2)=x^2, \forall x \in \mathbb{R}$$

- - - - -

Lời giải perfectstrong, 30-04-2023 - 22:12

Em nghĩ cái này giống PTH đó a, tìm được $f(x)$ thì sẽ tìm được $f(1)$ và $f'(1)$ 

 

Theo a thì bài này nên làm như nào v ạ :??

Đề bài đúng là quy về tìm $f(1)$ và $f'(1)$. Tuy nhiên, có thể tìm được hai giá trị này một cách đơn giản mà không cần giải ra $f$ hoàn toàn.

\begin{equation}\label{eq_func} f\left( {x + 1} \right) + xf\left( {{x^2}} \right) = {x^2} \end{equation}

Thế $x = 0$ vào \eqref{eq_func}, ta có $\boxed{f(1) = 0}$.

Thế $x = -1$ vào \eqref{eq_func}, ta có $f(0) - f(1) = 1 \Rightarrow f(0) = 1$.

Lấy đạo hàm hai vế của \eqref{eq_func}, ta có

\[f'\left( {x + 1} \right) + f\left( {{x^2}} \right) + 2{x^2}f'\left( {{x^2}} \right) = 2x\]

Thế $x = 0$, ta có $f'\left( 1 \right) + f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \boxed{f'\left( 1 \right) =  - 1}$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Thegooobs

Thegooobs

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Cho hàm $f$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x+1)+xf(x^2)=x^2, \forall x \in \mathbb{R}$$

Viết phương trình pháp tuyến của đồ thị hàm $f$ tại $x=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 30-04-2023 - 18:16

$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$


#2
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$

Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$ 

Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$

Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$

Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$

$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$

Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$

Thay lại ta thấy thỏa mãn

Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*



#3
Thegooobs

Thegooobs

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$

Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$ 

Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$

Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$

Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$

$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$

Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$

Thay lại ta thấy thỏa mãn

Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*

Còn pháp tuyến nữa.....


$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Thay $x=0$ vào biểu thức đã cho ta được: $f(1) = 0$

Biểu thức dưới $f$ là bậc $1$ và $2$ và vế phải là bậc $2$ nên $f(x)$ phải có bậc $1$ 

Khi đó $f(x) = ax+b(a \ne 0)$

Thay $x=1$ vào ta được $f(2) + f(1) = 1 \to f(2) = 1$

Khi đó ta có hệ $\begin{cases} a+b=0 \\ 2a + b = 1 \end{cases}$

$\to \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$

Hàm $f$ cần tìm là : $f(x) = x - 1$

Thay lại ta thấy thỏa mãn

Bài hơi lạ nhen *゜ー゜*

Đề yêu cầu tìm hàm số, chứ không phải đa thức nhé bạn.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đề yêu cầu tìm hàm số, chứ không phải đa thức nhé bạn.

Em nghĩ cái này giống PTH đó a, tìm được $f(x)$ thì sẽ tìm được $f(1)$ và $f'(1)$ 

 

Theo a thì bài này nên làm như nào v ạ :??



#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
✓  Lời giải

Em nghĩ cái này giống PTH đó a, tìm được $f(x)$ thì sẽ tìm được $f(1)$ và $f'(1)$ 

 

Theo a thì bài này nên làm như nào v ạ :??

Đề bài đúng là quy về tìm $f(1)$ và $f'(1)$. Tuy nhiên, có thể tìm được hai giá trị này một cách đơn giản mà không cần giải ra $f$ hoàn toàn.

\begin{equation}\label{eq_func} f\left( {x + 1} \right) + xf\left( {{x^2}} \right) = {x^2} \end{equation}

Thế $x = 0$ vào \eqref{eq_func}, ta có $\boxed{f(1) = 0}$.

Thế $x = -1$ vào \eqref{eq_func}, ta có $f(0) - f(1) = 1 \Rightarrow f(0) = 1$.

Lấy đạo hàm hai vế của \eqref{eq_func}, ta có

\[f'\left( {x + 1} \right) + f\left( {{x^2}} \right) + 2{x^2}f'\left( {{x^2}} \right) = 2x\]

Thế $x = 0$, ta có $f'\left( 1 \right) + f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \boxed{f'\left( 1 \right) =  - 1}$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh