Lời giải
Em xin gửi lời giải của bài toán ạ.
image_2023-05-02_235743989.png 11.19K
0 Số lần tải
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $E=E', k=k', l=l'$ và $f=\mathrm{id}_E$. Hơn nữa, ta cũng có thể giả sử $A\subseteq E$ và $k$ là phép nhúng.
Gọi $\lambda:B\to E$ là một lớp cắt của $l:E\to B$ (tức là $l\circ\eta=\mathrm{id}_B$) thỏa mãn $\lambda(1)=1$. Khi đó tồn tại $\eta:B\times B\to A$ thỏa mãn
\[\lambda(x)\lambda(y)=\eta(x,y)\lambda(xy).\]
Ta cần tìm tất cả đồng cấu không tầm thường $g:E\to E$ sao cho biểu đồ
image_2023-05-03_012643308.png 10.67K
0 Số lần tải
giao hoán. Điều kiện biểu đồ giao hoán cụ thể là
\[(1): \text{ } g(x)=x \text{ với mọi } x\in A,\]
và
\[(2): \text{ } l(g(x))=l(x) \text{ với mọi } x\in E.\]
Mỗi phần tử của $E$ được biểu diễn duy nhất dưới dạng $a\lambda(b)$ với $a\in A, b\in B$. Thay vào điều kiện (2), vế trái trở thành
\[l(a\lambda(b))=l(a)l(\lambda(b))=b,\]
và vế phải trở thành
\[l(g(a\lambda(b)))=l(g(a)g(\lambda(b))=l(a)l(g(\lambda(b)))=l(g(\lambda(b))).\]
Do đó, điều kiện (2) tương đương với tồn tại $\gamma:B\to A$ sao cho $g(\lambda(b))=\lambda(b)\gamma(b)$. Vậy $g(a\lambda(b))=a\lambda(b)\gamma(b)$. Giờ ta sử dụng điều kiện $g$ là một đồng cấu, gọi $\tau_x$ là phép liên hợp với $x$, ta có
\[a\lambda(b)a'\lambda(b')=a\tau_{\lambda(b)}(a')\lambda(b)\lambda(b')=\underbrace{a\tau_{\lambda(b)}(a')\eta(b,b')}_{\in A}\lambda(bb'),\]
dẫn tới
\[g(a\lambda(b)a'\lambda(b'))=a\tau_{\lambda(b)}(a')\eta(b,b')\lambda(bb')\gamma(bb')=a\lambda(b)a'\lambda(b)^{-1}\lambda(b)\lambda(b')\gamma(bb')=a\lambda(b)a'\lambda(b')\gamma(bb').\]
Mặt khác, ta có
\[g(a\lambda(b)a'\lambda(b'))=a\lambda(b)\gamma(b)a'\lambda(b')\gamma(b').\]
Rút gọn, ta được đẳng thức
\[a'\lambda(b')\gamma(bb')=\gamma(b)a'\lambda(b')\gamma(b').\]
Do $A$ giao hoán nên ta có thể rút gọn
\[\gamma(bb')=\tau_{\lambda(b')}^{-1}(\gamma(b))\gamma(b').\]
Như vậy $\gamma\in Z^1_\theta(B,A)$ với tác động $\theta:B\to \mathrm{Aut}(A),b\mapsto \tau_{\lambda(b)}$ (không phụ thuộc vào cách chọn $\lambda$). Ngược lại, nếu $\gamma\in Z^1_\theta(B,A)$, ta chỉ cần xét
\[g(a\lambda(b))=a\lambda(b)\gamma(b)\]
là xong. Cuối cùng, ta thấy ngay $g$ tầm thường khi và chỉ khi $\gamma$ tầm thường.
Tóm lại, $Z^1_{\theta}(B,A)$ là nhóm cần tìm. Cụ thể hơn, khi $Z^1_{\theta}(B,A)$ tầm thường thì đồng cấu $f$ là duy nhất.
Cần phải nhấn mạnh rằng ta không cần điều kiện $B$ giao hoán trong bài toán này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmd27082001: 03-05-2023 - 01:40