Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $2^{3^{2023}} + 1 \vdots 3^{2024}$ nhưng $\not\vdots 3^{2025}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
ttttttttt

ttttttttt

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
Chứng minh rằng $2^{3^{2023}} + 1 \;\vdots\; 3^{2024}$ nhưng $\not\vdots \;3^{2025}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 02-05-2023 - 15:10
Tiêu đề & LaTeX


#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài này có lẽ tổng quát được như sau 

 

Bài toán. Chứng minh $2^{3^n}+1$ chia hết cho $3^{n+1}$ nhưng không chia hết cho $3^{n+2}$. 

 

Chưa chứng minh được, nhưng thử vài trường hợp đầu tiên của $n$ thấy đúng. 

 

$2^{3^0}+1=3$ chia hết cho $3^{0+1}=3$ nhưng không chia hết cho $3^{0+2}=9$.

$2^{3^1}+1=9$ chia hết cho $3^{1+1}=9$ nhưng không chia hết cho $3^{1+2}=27$. 

$2^{3^2}+1=513$ chia hết cho $3^{2+1}=27$ nhưng không chia hết cho $3^{2+2}=81$. 

$2^{3^3}+1=134217729$ chia hết cho $3^{3+1}=81$ nhưng không chia hết cho $3^{3+2}=243$. 

 

Quy nạp được chăng? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 01-06-2023 - 21:03

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Bài này có lẽ tổng quát được như sau 

 

Bài toán. Chứng minh $2^{3^n}+1$ chia hết cho $3^{n+1}$ nhưng không chia hết cho $3^{n+2}$. 

 

Chưa chứng minh được, nhưng thử vài trường hợp đầu tiên của $n$ thấy đúng. 

 

$2^{3^0}+1=3$ chia hết cho $3^{0+1}=3$ nhưng không chia hết cho $3^{0+2}=9$.

$2^{3^1}+1=9$ chia hết cho $3^{1+1}=9$ nhưng không chia hết cho $3^{1+2}=27$. 

$2^{3^2}+1=513$ chia hết cho $3^{2+1}=27$ nhưng không chia hết cho $3^{2+2}=81$. 

$2^{3^3}+1=134217729$ chia hết cho $3^{3+1}=81$ nhưng không chia hết cho $3^{3+2}=243$. 

 

Quy nạp được chăng? 

Bài này dùng quy nạp thật:

Tạm gọi đpcm là (1)

Xét với $n=1$ thoả mãn

Giả sử (1) đúng với $n=k$,ta chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$

Thật vậy: $2^{3^{k+1}}+1=8^{3^{k}}+1=(2^{3^{k}}+1)(4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1)$

 Mà $2^{3^{k}}+1\vdots 3^{k+1};4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1=4^{3^{k}}+2-(2^{3^{k}}+1)\vdots 3$ nên  $2^{3^{k+1}}+1 \vdots 3^{k+2}$

  Như vậy ta chỉ cần chứng minh $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$ hay $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1$ không chia hết cho $9$ 

Ta có: $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1= (2^{3^{k}}+1)^{2}-3.2^{3^{k}}$ không chia hết cho $9$

  Suy ra $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$

 Từ các chứng minh trên ta có đpcm.


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#4
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Bài này dùng quy nạp thật:

Tạm gọi đpcm là (1)

Xét với $n=1$ thoả mãn

Giả sử (1) đúng với $n=k$,ta chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$

Thật vậy: $2^{3^{k+1}}+1=8^{3^{k}}+1=(2^{3^{k}}+1)(4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1)$

 Mà $2^{3^{k}}+1\vdots 3^{k+1};4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1=4^{3^{k}}+2-(2^{3^{k}}+1)\vdots 3$ nên  $2^{3^{k+1}}+1 \vdots 3^{k+2}$

  Như vậy ta chỉ cần chứng minh $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$ hay $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1$ không chia hết cho $9$ 

Ta có: $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1= (2^{3^{k}}+1)^{2}-3.2^{3^{k}}$ không chia hết cho $9$

  Suy ra $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$

 Từ các chứng minh trên ta có đpcm.

Sao $2^{3^{k+1}}=8^{3^{k}}$ ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 01-06-2023 - 23:28

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#5
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Sao $2^{3^{k+1}}=8^{3^{k}}$ ?

 
$2^{3^{k+1}}=2^{3^{k}.3}= (2^3)^{3^k} = 8^{3^{k}}$
Bạn ấy làm đúng, tuy nhiên nếu chỉ cần để ở mức $2^{3^{k+1}}=2^{3^{k}.3} = (2^{3^k})^{3}$ thì lời giải sáng hơn  ~O)  ~O)  ~O)
(trong phần chứng minh BT không chia hết cho 9 bạn ấy đã phân tích để sử dụng một phần rất nhỏ của giả thiết quy nạp, HS nên để ý)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 02-06-2023 - 06:55

N.K.S - Learning from learners!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh