Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 02-05-2023 - 15:10
Tiêu đề & LaTeX
Chứng minh rằng $2^{3^{2023}} + 1 \vdots 3^{2024}$ nhưng $\not\vdots 3^{2025}$
#1
Đã gửi 02-05-2023 - 14:40
#2
Đã gửi 01-06-2023 - 21:01
Bài này có lẽ tổng quát được như sau
Bài toán. Chứng minh $2^{3^n}+1$ chia hết cho $3^{n+1}$ nhưng không chia hết cho $3^{n+2}$.
Chưa chứng minh được, nhưng thử vài trường hợp đầu tiên của $n$ thấy đúng.
$2^{3^0}+1=3$ chia hết cho $3^{0+1}=3$ nhưng không chia hết cho $3^{0+2}=9$.
$2^{3^1}+1=9$ chia hết cho $3^{1+1}=9$ nhưng không chia hết cho $3^{1+2}=27$.
$2^{3^2}+1=513$ chia hết cho $3^{2+1}=27$ nhưng không chia hết cho $3^{2+2}=81$.
$2^{3^3}+1=134217729$ chia hết cho $3^{3+1}=81$ nhưng không chia hết cho $3^{3+2}=243$.
Quy nạp được chăng?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 01-06-2023 - 21:03
- perfectstrong, Leonguyen và ttttttttt thích
#3
Đã gửi 01-06-2023 - 22:55
Bài này có lẽ tổng quát được như sau
Bài toán. Chứng minh $2^{3^n}+1$ chia hết cho $3^{n+1}$ nhưng không chia hết cho $3^{n+2}$.
Chưa chứng minh được, nhưng thử vài trường hợp đầu tiên của $n$ thấy đúng.
$2^{3^0}+1=3$ chia hết cho $3^{0+1}=3$ nhưng không chia hết cho $3^{0+2}=9$.
$2^{3^1}+1=9$ chia hết cho $3^{1+1}=9$ nhưng không chia hết cho $3^{1+2}=27$.
$2^{3^2}+1=513$ chia hết cho $3^{2+1}=27$ nhưng không chia hết cho $3^{2+2}=81$.
$2^{3^3}+1=134217729$ chia hết cho $3^{3+1}=81$ nhưng không chia hết cho $3^{3+2}=243$.
Quy nạp được chăng?
Bài này dùng quy nạp thật:
Tạm gọi đpcm là (1)
Xét với $n=1$ thoả mãn
Giả sử (1) đúng với $n=k$,ta chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$
Thật vậy: $2^{3^{k+1}}+1=8^{3^{k}}+1=(2^{3^{k}}+1)(4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1)$
Mà $2^{3^{k}}+1\vdots 3^{k+1};4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1=4^{3^{k}}+2-(2^{3^{k}}+1)\vdots 3$ nên $2^{3^{k+1}}+1 \vdots 3^{k+2}$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$ hay $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1$ không chia hết cho $9$
Ta có: $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1= (2^{3^{k}}+1)^{2}-3.2^{3^{k}}$ không chia hết cho $9$
Suy ra $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$
Từ các chứng minh trên ta có đpcm.
- perfectstrong, Leonguyen, HaiDangPham và 1 người khác yêu thích
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
#4
Đã gửi 01-06-2023 - 23:24
Bài này dùng quy nạp thật:
Tạm gọi đpcm là (1)
Xét với $n=1$ thoả mãn
Giả sử (1) đúng với $n=k$,ta chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$
Thật vậy: $2^{3^{k+1}}+1=8^{3^{k}}+1=(2^{3^{k}}+1)(4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1)$
Mà $2^{3^{k}}+1\vdots 3^{k+1};4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1=4^{3^{k}}+2-(2^{3^{k}}+1)\vdots 3$ nên $2^{3^{k+1}}+1 \vdots 3^{k+2}$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$ hay $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1$ không chia hết cho $9$
Ta có: $4^{3^{k}}-2^{3^{k}}+1= (2^{3^{k}}+1)^{2}-3.2^{3^{k}}$ không chia hết cho $9$
Suy ra $2^{3^{k+1}}+1$ không chia hết cho $3^{k+3}$
Từ các chứng minh trên ta có đpcm.
Sao $2^{3^{k+1}}=8^{3^{k}}$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 01-06-2023 - 23:28
"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".
Albert Einstein
#5
Đã gửi 02-06-2023 - 06:48
Sao $2^{3^{k+1}}=8^{3^{k}}$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 02-06-2023 - 06:55
- Leonguyen, huytran08 và QuocMinh2k8 thích
N.K.S - Learning from learners!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh