$f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
#1
Đã gửi 03-05-2023 - 17:41
1 - Chứng minh $f(x)$ liên tục và khả vi với mọi $\forall x\in\mathbb R$ (Khảo sát vẽ đồ thị hàm số)
2 - Tính tích phân $I=\int_1^n\!\! f(x)\mathrm dx$
- perfectstrong, Ispectorgadget, DOTOANNANG và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 03-05-2023 - 18:47
Cho hàm số: $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
1 - Chứng minh $f(x)$ liên tục và khả vi với mọi $\forall x\in\mathbb R$ (Khảo sát vẽ đồ thị hàm số)
2 - Tính tích phân $I=\int_1^n\!\! f(x)\mathrm dx$
Cho em hỏi $\lfloor x\rfloor$ là hàm số nguyên lớn nhất đúng không ạ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 03-05-2023 - 18:48
- hxthanh và DOTOANNANG thích
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
#4
Đã gửi 04-05-2023 - 01:28
Để có cái nhìn rõ hơn về hàm số này, mình xin làm trước câu 1Cho hàm số: $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
1 - Chứng minh $f(x)$ liên tục và khả vi với mọi $\forall x\in\mathbb R$ (Khảo sát vẽ đồ thị hàm số)
2 - Tính tích phân $I=\int_1^n\!\! f(x)\mathrm dx$
Xét hàm $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
$\bullet\;$Tập xác định $x\in \mathbb R$
$\bullet\;$Xét tính liên tục: Với mỗi $x\in(m,m+1);\;m\in\mathbb Z$ thì $\lfloor x\rfloor=m=\mathrm{const}$ khi đó $f(x)$ là đa thức bậc $2$ của $x$ nên hiển nhiên nó liên tục.
- Xét tại các điểm hoành độ nguyên $x=m;\;m\in\mathbb Z$
- Giới hạn trái
Do $\lim_{x\to m^-} \lfloor x\rfloor=m-1$, nên thay vào ta có:
$\lim_{x\to m^-} f(x)=\frac{m(m-1)(2m-1)}6$
- Giới hạn phải
Do $\lim_{x\to m^+} \lfloor x\rfloor=m$, nên thay vào ta có:
$\lim_{x\to m^+} f(x)=\frac{m(m-1)(2m-1)}6$
Suy ra $\lim_{x\to m^-} f(x)=\lim_{x\to m^+} f(x)=f(m)$
Vậy $f(x)$ cũng liên tục tại các điểm hoành độ nguyên.
Do đó nó liên tục $\forall x\in\mathbb R$
$\bullet\;$ Đạo hàm
Xem $\lfloor x\rfloor =\mathrm{const}$ ta dễ dàng tính được
$f’(x)=\lfloor x\rfloor\left(2x-\lfloor x\rfloor-1\right)$
trên các khoảng $(m,m+1);\;m\in\mathbb Z$
Tương tự như trên, ta cũng có:
$\lim_{x\to m^-}f’(x)=\lim_{x\to m^+}f’(x)=m^2-m=f’(m)$
Như vậy $f(x)$ khả vi liên tục $\forall x\in\mathbb R$
$f’(x)=0\Leftrightarrow 0\le x\le 1$
$\bullet\;$Bảng biến thiên
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & \; & \; & 0 & \; & \;& 1 & \; & +\infty\\
\hline
f^\prime(x) & \; & + & \; & 0 & 0 & 0 & 0 & + &\; \\
\hline
\; & \; & \; & & & \; & \; & &\; &+\infty \\
f(x) & \; & \nearrow & &0 & 0 & 0 & 0 & \nearrow & \; \\
\quad & -\infty & \; & \; & & & \; & \: & \; &
\end{array}
(Một ví dụ điển hình cho việc có vô hạn điểm “tới hạn” mà không có cực trị nào!)
$\bullet\;$ Đồ thị - mượn luôn từ Wolframalpha
Kết thúc câu 1. Mời các bạn tiếp tục câu 2!
- perfectstrong, DOTOANNANG, poset và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 04-05-2023 - 10:20
Cho hàm số: $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
1 - ...
2 - Tính tích phân $I=\int_1^n\!\! f(x)\mathrm dx$
$\forall m\in \mathbb{N}^*$, ta có :
$\int_{m}^{m+1}f(x)dx=\int_{m}^{m+1}\left ( mx^2-m(m+1)x+\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6} \right )dx=$
$=\frac{m}{3}.(3m^2+3m+1)-\frac{m(m+1)}{2}.(2m+1)+\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}=\frac{m^3}{3}$
$\Rightarrow \int_{1}^{n}f(x)dx=\sum_{m=1}^{n-1}\frac{m^3}{3}=\frac{1}{3}\sum_{m=1}^{n-1}m^3=\frac{1}{3}\left ( \sum_{m=1}^{n-1}m \right )^2=\frac{1}{3}\left ( C_n^2 \right )^2$, $\forall n\in \mathbb{N}^*$
- perfectstrong, hxthanh và Thegooobs thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#6
Đã gửi 04-05-2023 - 12:17
Tản mạn thêm một chút về đồ thị $(C)$ của hàm số này
$f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
- Với mỗi $x$ trên từng… $[m,m+1)$ với $0\ne m\in\mathbb Z$ (không biết nên gọi là khoảng, đoạn, nửa khoảng,… hay thế nào cho đúng)
thì $(C)$ là đường cong bậc $2$. Riêng với $x\in [0,1)$ thì $(C)$ suy biến thành đường thẳng.
- Xét trên toàn bộ trục số. Nếu ta coi $\lfloor x\rfloor \sim x$ thì sẽ có $f(x)\sim \frac{x(x-1)(2x-1)}6=g(x)$
Mời các bạn xem sự khác biệt giữa hai đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$
Chúng “gần như” khớp hoàn toàn với nhau (thực tế không phải vậy). Ta thử tính tích phân
$J=\int_1^n g(x)\mathrm dx=\left. \frac{x^2(x-1)^2}{12} \right |_1^n=\frac{n^2(n-1)^2}{12}=I$
Quả nhiên sự trùng hợp này cũng thú vị làm sao!
——
Về “xuất xứ” của hàm số này, có thể nói là nó đến từ việc xây dựng các “nguyên hàm cấp cao” cao của hàm $\lfloor x\rfloor$
Hãy để ý đến “một nửa” đạo hàm của $f(x)$
$\frac{f’(x)}2=x\lfloor x\rfloor-\frac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x\rfloor+1)}2$
Nó “thực sự” là nguyên hàm của $\lfloor x\rfloor$ đấy!
Từ “thực sự” ở đây mang ý nghĩa rằng, bạn có thể dùng nó để tính tích phân $\int_a^b \lfloor x\rfloor \mathrm dx$ mà không mắc phải bất kỳ sai sót nào!
Nguyên hàm “cấp $n$” của $\lfloor x\rfloor$ là hàm số
$\mathbb F_n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}(x-k)^n$
Nếu tinh ý bạn có thể nhận ra rằng hàm số $f(x)$ của ta là
$f(x)=2\mathbb F_2(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}(x-k)^2$
(Các bạn kiểm tra lại xem đúng không nhé!)
Với “cấu hình” như trên thì việc tính $I$ trở nên quá đơn giản!
——
Nhận xét khá là lan man rồi, hy vọng bài toán này có thể đem đến một chút cảm hứng nào đó với các bạn. $\quad\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-05-2023 - 20:14
- perfectstrong, chanhquocnghiem và poset thích
#7
Đã gửi 04-05-2023 - 12:39
Cho hàm số: $f(x)=\frac{\lfloor x\rfloor^3}3+\frac{\lfloor x\rfloor^2}2+\frac{\lfloor x\rfloor}6+x\lfloor x\rfloor(x-\lfloor x\rfloor-1)$
1 - Chứng minh $f(x)$ liên tục và khả vi với mọi $\forall x\in\mathbb R$ (Khảo sát vẽ đồ thị hàm số)
2 - Tính tích phân $I=\int_1^n\!\! f(x)\mathrm dx$
Em nghĩa 1 cách đơn giản hơn để giải câu 1 bằng những kiến thức đơn giản và một chút ý tưởng từ các lời giải trên:
Xét khoảng $(m;m+1), m \in \mathbb{Z}$
thì khi đó $\lfloor x \rfloor =x $ (như lời giải trên)
nên hàm $f(x)=P(x), \forall x \in (m,m+1)$ trong đó $P(x)$ là một đa thức.
nên $f$ sẽ khả vi trên khoảng $(m,m+1)$
Chứng minh $f$ khả vi tại các điểm nguyên:
Xét giới hạn:
$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ (trong đó $a$ nguyên) và $f(a)=a^3/3+a^2/2+a/6+a^2$
Khi $x \to a^+$ thì $\lfloor x \rfloor =a$ nên khi đó $f(x)=a^3/3+a^2/2+a/6-ax(x-a-1)$
Nên:
$$\lim_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a^+}\dfrac{a^3/3+a^2/2+a/6-ax(x-a-1)-(a^3/3+a^2/2+a/6+a^2)}{x-a}=\lim_{x\to a^+}\dfrac{(x-a)(ax-a)}{x-a}=a^2-a$$
Khi $x \to a^-$ thì $\lfloor x \rfloor =a-1$ nên $f(x)=(a-1)^3/3+(a-1)^2/2+(a-1)/6+x(a-1)(x-a)$
và khi đó:
$$\lim_{x\to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a^-}\dfrac{(a-1)^3/3+(a-1)^2/2+(a-1)/6+x(a-1)(x-a)-(a^3/3+a^2/2+a/6+a^2)}{x-a}=\lim_{x\to a^-}\dfrac{(ax-x)(x-a)}{x-a}=a^2-a$$
nên $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tồn tại với mọi $a$ nguyên $\Rightarrow$ $f$ khả vi tại các điểm nguyên
Vậy $f$ khả vi trên $\mathbb{R}$ nên $f$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 04-05-2023 - 12:43
- perfectstrong, hxthanh, chanhquocnghiem và 2 người khác yêu thích
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: floor function
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh