Chủ đề này có 4 trả lời

[supermember]

Bài Này Không Hề Mới, Nếu Bạn Nào Đã Biết Lời Giải Thì Có Thể Nhường cho những bạn chưa làm qua được thử sức.

 

Bài Toán:

 

Cho $ x = a+b -c; \ y = a+c - b; \ z = b+c -a$ trong đó $ a ; b ; c $ là những số nguyên tố.

 

Biết rằng: $ x^2 = y $ và $ \sqrt{z} - \sqrt{y}$ là bình phương của một số nguyên tố.

 

Tính giá trị của $ (a+2)(b-10)(c+2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 05-05-2023 - 18:44

[HaiDangPham]

Giả sử $\sqrt{z}-\sqrt{y}=p^2$ với $p$ là số nguyên tố. Với lưu ý $y+z=2c$, bình phương hai vế của phương trình trên ta được $$ 2(c-\sqrt{yz})=p^4.$$ Vì $p$ nguyên tố nên $p=2$. Do đó $$c-\sqrt{yz}=8.$$ 

 

Với điều kiện $c\geq 8$ ta được $$ (c-8)^2=yz$$ Thay $y=a+c-b, z=b+c-a$ ta được $$c=\left(\frac{b-a}{4}\right)^2+4$$ 

Vì $\sqrt{z}-\sqrt{y}=p^2$ nên $z>y$ hay $b-a>0$. Vì $c$ là số nguyên tố nên $b-a=4(2k+1)$ với $k\in \mathbb{N}$. Từ đó $$c=(2k+1)^2+4=4k^2+4k+5$$ và $$y=c-(b-a)=4k^2-4k+1=(2k-1)^2$$

Từ phương trình $x^2=y$ ta suy ra $x=2k-1$ hoặc $x=-2k+1$. 

 

* Nếu $x=2k-1$ khi đó $a+b=c+x=4k^2+6k+4$. Kết hợp với $b-a=4(2k+1)$ ta suy ra $a=2k^2-k$ và $b=2k^2+7k+4$. Ta viết lại $a=k(2k-1)$. Vì $a$ là số nguyên tố nên $k=1$. Nhưng khi đó $a=1$, mâu thuẫn.  

 

* Nếu $x=-2k+1$ khi đó $a+b=c+x=4k^2+2k+6$. Kết hợp với $b-a=4(2k+1)$ ta suy ra $a=2k^2-3k+1$ và $b=2k^2+5k+5$. Viết lại $a=(2k-1)(k-1)$. Do $a$ là số nguyên tố nên $k=2$, từ đó $a=3,b=23,c=29$.  

 

Tóm lại $a=3, b=23, c=29$ và ta có $$(a+2)(b-10)(c+2)=5.13.31=2015.$$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-07-2023 - 00:25

[supermember]

ĐÃ TIẾP THU Ý KIẾN TỪ THẦY GIÁO PHẠM HẢI ĐĂNG VÀ SỬA LẠI.

Bài này cách nhanh nhất thế này:

 

$ x^2 + x = x(x+1) = y+x = 2a  \implies x(x+1) = 2a $ với $a$ là số nguyên tố.

 

Trường hợp $1$: Nếu $ a | x$ thì $ x = ka$ với $k$ là số nguyên , suy ra: $ x +1 = ka +1  \implies ka(ka +1) = 2a  \implies k(ka+1) = 2$

Suy ra có $4$ trường hợp có thể xảy ra: $ k =1 ; ka+1 = 2$ hoặc  $ k =2 ; ka +1 = 1$ hoặc   $ k = -1 ; ka+1 = -2$ hoặc   $ k = -2 ; ka+1 = -1$

Mà $a$ là số nguyên tố nên dễ thấy chỉ có thể xảy ra: $ k = -1; a =3$

 

Suy ra $ x =  -3; y = 9$

 

Do $ z-y = 2(b-a)$ là số chẵn, nên hiển nhiên $2$ số $ z ; y$ cùng tính chẵn lẻ, suy ra nếu $ \sqrt{z}$ là số nguyên dương thì $ \sqrt{z} -\sqrt{y}=  \sqrt{z} -3$ là số chẵn . Khi đó chỉ có thể xảy ra trường hợp:  $  \sqrt{z} -3 =4$ Suy ra:  $ z = 49$

 

 

$ z+x = 2b \implies 46 = 2b \implies b = 23$

$ y+z = 2c \implies 58 = 2c \implies c = 29$

Thỏa mãn điều kiện $a; \ b; \ c $ là số nguyên tố:

 

Suy ra: $(a+2)(b-10)(c+2) = 5 \cdot 13 \cdot 31 = 2015$

 

Trường hợp $2$: Mà nếu $ a | x+1$ thì  $ x+1 = ka $ với $k$ là số nguyên , suy ra: $ x = ka -1  \implies ka(ka -1) = 2a  \implies k(ka-1) = 2$

 

Suy ra có $4$ trường hợp có thể xảy ra: $ k =1 ; ka-1 = 2$ hoặc    $ k =2 ; ka -1 = 1$ hoặc   $ k = -1 ; ka-1 = -2$ hoặc   $ k = -2 ; ka-1 = -1$

 

Mà $a$ là số nguyên tố nên dễ thấy chỉ có thể xảy ra: $ k =1; a =3$

 

Suy ra $ x = 2; y = 4$

 

Lập luận tương tự ở trên, ta có: $ \sqrt{z} -\sqrt{y}=  \sqrt{z} -2 =4$ Suy ra:  $ z = 36$

 

$ y+z = 2c \implies 38 = 2b \implies c = 20$, loại  trường hợp này vì $c$ phải là số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-07-2023 - 12:14

[HaiDangPham]

Bài này cách nhanh nhất thế này:

 

$ x^2 + x = x(x+1) = y+x = 2a  \Leftrightarrow x(x+1) = 2a $ với $a$ là số nguyên tố.

 

Do $ \gcd(x; x+1) =1$ nên để tích $ x(x+1)$ chia hết cho $a$ thì một trong $2$ số $ x; x+1$ phải chia hết cho $a$

 

Suy ra: $ a | x+1$ , vì nếu $ a | x  \Leftrightarrow  x \geq a \Leftrightarrow   x(x+1) \geq a(a+1) \geq 3a > 2a$, vô lý.

Mà nếu $ a | x+1$ thì  $ x+1 = ka $, suy ra: $ x = ka -1  \Leftrightarrow  ka(ka -1) = 2a  \Leftrightarrow k(ka-1) = 2$

 

Suy ra $ k =1 ; ka-1 = 2$ hoặc $ k =2 ; ka -1 = 1$. Mà $a$ là số nguyên tố nên dễ thấy chỉ có thể xảy ra: $ k =1; a =3$ 

 

Suy ra $ x = 2; y = 4$

 

Do $ z-y = 2(b-a)$ là số chẵn, nên hiển nhiên $2$ số $ z ; y$ cùng tính chẵn lẻ, Mà $y = 2^2$ là số chẳn, suy ra nếu $ \sqrt{z}$ là số nguyên dương thì $  \sqrt{z} -2$ là số chẵn, suy ra chỉ có thể xảy ra trường hợp:  $  \sqrt{z} -2 =4$ Suy ra:  $ z = 36$

 

mai làm tiếp

 

Lời giải trên gặp sai sót chỗ $a|x$ suy ra $x\geq a$. Ở đây, ta không có giả thiết $x\geq 0$.

 

Nếu tiếp tục giải tiếp như trên, ta có từ $x=2, a=3$ suy ra $c=b+1$ và $z=b+c-a=2(b-1)$. Vì $z=36$ nên $b=19$, dẫn tới $c=20$ không phải số nguyên tố. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-07-2023 - 00:17

[HaiDangPham]

Từ ý tưởng chứng minh của supermember ta có cách trình bày gọn hơn như sau. 

 

Từ $y=x^2$ ta suy ra $\sqrt{y}=|x|$ là một số nguyên. Lại có $\sqrt{z} - \sqrt{y}$ là một số nguyên dương nên $\sqrt{z}$ cũng phải là một số nguyên dương. Hơn nữa $z-y=2(b-a)$ do đó $y, z$ cùng tính chẵn lẻ, dẫn tới $\sqrt{z}-\sqrt{y}$ phải là một số chẵn. Mặt khác $\sqrt{z}-\sqrt{y}$ là bình phương của một số nguyên tố nên $$\sqrt{z}-\sqrt{y}=4.$$

Từ đó  $z=(|x|+4)^2$.

 

Ta có $2c=y+z$ suy ra $c=x^2+4|x|+8$. Ta có ngay $c \geq 8$, mà $c$ là số nguyên tố nên $c$ phải là một số lẻ, vì vậy $x \equiv 1 \pmod{2}$.

Từ $2a=x+y$ suy ra $ a=\frac{x(x+1)}{2}$. Do $a$ là số nguyên tố nên một trong hai số $|x|$, $\left|\frac{x+1}{2}\right|$ phải nhận giá trị $1$. 

Nếu $|x|=1$ thì $x=1$ dẫn tới $a=1$, hoặc $x=-1$ khi đó $a=0$. Cả hai khả năng đều không thỏa mãn. 

Nếu $\left|\frac{x+1}{2}\right|=1$ thì $x=1$ hoặc $x=-3$. Phương án $x=1$ đã bị loại, do đó ta phải có $x=-3$. 

 

Với $x=-3$ thì ta tính được ngay $a=3, c=29$, và cuối cùng thu được $b=23$. 

 

Do đó $$(a+2)(b-10)(c+2)=2015.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-07-2023 - 09:42