Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyenndu]

cho a,b,c dương. CMR $\sqrt{\frac{2ab(a^2-ab+b^2)}{a^4+b^4}}+\sqrt{\frac{2bc(b^2-bc+c^2)}{b^4+c^4}}+\sqrt{\frac{2ca(c^2-ca+a^2)}{c^4+a^4}}\le \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{a+b+c}$

(HSGSO 2023)

[Hoang72]

Nhận thấy: $3(a^4 + b^4) - 2(a^2+ab+b^2)(a^2 - ab+b^2) = (a^2-b^2)^2\geq 0$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{2ab(a^2-ab+b^2)}{a^4+b^4}} \leq \sum\sqrt{\frac{3ab}{a^2+ab+b^2}}$.

Như vậy ta chỉ cần chứng minh $$\sum\sqrt{\frac{3ab}{a^2+ab+b^2}}\leq \frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{a+b+c}\text{ }(*)$$ 

Ta có $(*)\Leftrightarrow \sum \left(1 - \sqrt{\frac{3ab}{a^2+ab+b^2}}\right)\geq \frac{\sum\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2}{a+b+c}$ 

$\Leftrightarrow \sum\frac{(a-b)^2}{a^2+ab+b^2 + \sqrt{3ab\left(a^2+ab+b^2\right)}}\geq \sum\frac{(a-b)^2}{(a+b+c)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2}$.

Do đó xét hiệu: \begin{align*}(a+b)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 -\left(a^2+ab+b^2\right) - \sqrt{3ab\left(a^2+ab+b^2\right)} &> 2\sqrt{ab}(a+b) - \sqrt{3ab\left(a^2+2ab+b^2\right)}  \\&= \left(2 - \sqrt{3}\right)\sqrt{ab}(a+b)>0 \end{align*}

$\Rightarrow (a+b+c)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2 > \left(a^2+ab+b^2\right) + \sqrt{3ab\left(a^2+ab+b^2\right)}$.

Thiết lập 2 bất đẳng thức tương tự ta có đpcm.