Chủ đề này có 4 trả lời

[Thegooobs]

Cho các hàm số: $u(x)=e^{\sin x}-\cos x$ và $v(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$

1. Hỏi $u$ và $v$ có phải là các VCB khi $x \to 0$ không ?

2. Tính giới hạn: $L=\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 07-05-2023 - 10:44

[chanhquocnghiem]

Cho các hàm số: $u(x)=e^{\sin x}-\cos x$ và $v(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$

1. Hỏi $u$ và $v$ có phải là các VCB khi $x \to 0$ không ?

2. Tính giới hạn: $L=\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}$.

1) $\lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}(e^{\sin x}-\cos x)=0$

    $\lim_{x\to 0^+}v(x)=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x+\sqrt{x}}=0$

    $\lim_{x\to 0}v(x)$ không tồn tại.

    Vậy $u$ là VCB khi $x\to 0$, còn $v$ thì không ($v$ chỉ là VCB khi $x\to 0^+$)

2) Áp dụng quy tắc L'Hospital :

    $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}=\frac{\lim_{x \to 0^+} u'(x)}{\lim_{x \to 0^+} v'(x)}$

    $\lim_{x \to 0^+} u'(x)=\lim_{x \to 0^+}(e^{\sin x}\cos x+\sin x)=1$

    $\lim_{x \to 0^+} v'(x)=\lim_{x \to 0^+}\left ( \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \right )=\lim_{x \to 0^+}\left ( \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}} \right )=+\infty$

    $\Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}=0$.

   
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-05-2023 - 09:42

[Thegooobs]

1) $\lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}(e^{\sin x}-\cos x)=0$

    $\lim_{x\to 0}v(x)=\lim_{x\to 0}\sqrt{x+\sqrt{x}}=0$

    Vậy $u$ và $v$ là các VCB khi $x\to 0$.

2) Áp dụng quy tắc L'Hospital :

    $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}=\frac{\lim_{x \to 0^+} u'(x)}{\lim_{x \to 0^+} v'(x)}$

    $\lim_{x \to 0^+} u'(x)=\lim_{x \to 0^+}(e^{\sin x}\cos x+\sin x)=1$

    $\lim_{x \to 0^+} v'(x)=\lim_{x \to 0^+}\left ( \frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \right )=\lim_{x \to 0^+}\left ( \frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}} \right )=+\infty$

    $\Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \dfrac{u(x)}{v(x)}=0$.

   
 

Dạ câu 2 đúng rồi ạ ! Em cảm ơn.

Với cho em hỏi: Hàm $v(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ có tập xác định là $D=[0,+\infty)$ thì làm sao tồn tại giới hạn $\displaystyle \lim_{x \to 0} v(x)=0$ được ạ ?

Đúng ra phải là $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} v(x)=0$ chứ nhỉ ? 

Như thế thì $v$ có phải là VCB khi $x \to 0$ không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 08-05-2023 - 08:30

[chanhquocnghiem]

 

Dạ câu 2 đúng rồi ạ ! Em cảm ơn.

Với cho em hỏi: Hàm $v(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ có tập xác định là $D=[0,+\infty)$ thì làm sao tồn tại giới hạn $\displaystyle \lim_{x \to 0} v(x)=0$ được ạ ?

Đúng ra phải là $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} v(x)=0$ chứ nhỉ ? 

Như thế thì $v$ có phải là VCB khi $x \to 0$ không ?

 

Vâng, mình nhầm, đã sửa lại.
 

[Thegooobs]

Vâng, mình nhầm, đã sửa lại.
 

Dạ em cảm ơn !!!!