Chủ đề này có 1 trả lời

[nhancccp]

Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $2(a^{5}+b^{5}+c^{5})=-5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

bài này em nghĩ chứng minh $a+b+c=0\rightarrow a^{3}+b^3+c^3=3abc$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ac)$ rồi nhân 2 vế lại với nhau, từ đó chứng minh được bài toán.

Anh/chị thấy có gì sai sót thì chỉ cho em với ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 10-05-2023 - 22:57

[MHN]

Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $2(a^{5}+b^{5}+c^{5})=-5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

bài này em nghĩ chứng minh $a+b+c=0\rightarrow a^{3}+b^3+c^3=3abc$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ac)$ rồi nhân 2 vế lại với nhau, từ đó chứng minh được bài toán.

Anh/chị thấy có gì sai sót thì chỉ cho em với ạ

CM được:  $a^3+b^3+c^3=3abc$ với $a+b+c=0$

Ta có: $3abc(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)=a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)$

Mà: $a+b+c=0\Leftrightarrow b+c=-a\Leftrightarrow (b+c)^2=a^2\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2-2bc$ 

TT: $a^2+b^2=c^2-2ab$; $c^2+a^2=b^2-2ca$

$\Rightarrow 3abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})=a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{3}(a^{2}-2bc)+b^{3}(b^{2}-2ac)+c^{3}(c^{2}-2ab)=2(a^{5}+b^{5}+c^{5})-2abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Leftrightarrow 5abc(a^2+b^2+c^2)=2(a^5+b^5+c^5).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 06-02-2024 - 10:35